§ 4. Электрон в трехмерной решетке
Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Результаты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоугольная решетка атомов с расстояниями
,
,
в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что амплитуда прыжка к соседу в направлении
есть
; амплитуда прыжка в направлении
есть
, а амплитуда прыжка в направлении
есть
. Как же описать базисные состояния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние - это когда электрон находится близ атома с координатами
,
,
, где
- одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на
,
и
,
где
,
,
- три целых числа. Вместо того чтобы ставить при
,
и
их номера, будем просто писать
,
,
, имея в виду, что они принимают лишь такие значения, которые бывают у точек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом
, а амплитуда того, что электрон в некотором состоянии
окажется в этом базисном состоянии, есть
.
Как и прежде, амплитуды
могут меняться во времени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:
(11.22)
Хоть это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое слагаемое.
Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все
меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента
. (11.23)
Если вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия
будет связана с
,
и
следующим образом:
. (11.24)
Теперь энергия зависит от трех волновых чисел
,
,
, которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора
.
И действительно, (11.23) можно переписать в векторных обозначениях:
. (11.25)
Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном пространстве в направлении
с волновым числом
.
Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент
сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения
зависит от относительных знаков и величин
,
и
. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие
, то зависимость оказывается сравнительно простой.
Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к
. (11.26)
В простой кубической решетке с расстоянием
между узлами следует ожидать, что и
, и
, и
будут все равны друг другу (скажем, равны
), так что получилось бы
, (11.27)
или
.
А это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некоторой эффективной массой.
В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично) три коэффициента
,
и
различны. Тогда «эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция при движении в направлении
и при движении в направлении
. (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)