§ 4. Общее решение для водорода

В уравнении (17.35) мы записали волновые функции атома водорода в виде

. (17.37)

Эти волновые функции должны быть решениями дифференциального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Подставим (17.37) в (17.7); получим

. (17.38)

Помножим все на и переставим члены; результат будет таков:

. (17.39)

Левая часть этого уравнения зависит от и , а от не зависит. Какое бы значение мы ни взяли, от этого левая часть не изменится. Значит, тоже должно быть выполнено и для правой части. Хотя в выражении в квадратных скобках там и сям попадаются разные , все выражение от зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех . Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от , ни от . Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зависеть от значения того состояния, которое мы изучаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция ; поэтому постоянное число мы обозначим . Уравнение (17.35), стало быть, равнозначно двум уравнениям

, (17.40)

. (17.41)

Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состояния, описываемого числами и , мы знаем функции ; тогда из уравнения (17.40) можно определить . Затем, подставив в (17.41), мы получим дифференциальное уравнение для функции . Если мы его сможем решить, то все множители, входящие в (17.37), нам станут известны, и мы узнаем .

Чему же равно ? Ну, во-первых, заметьте, что при всех (входящих в данное ) оно должно быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в то , какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять . Из уравнения (16.24)

. (17.42)

Матричный элемент тоже совсем прост:

, (17.43)

где - некоторое число. Объединяя их, получаем

. (17.44)

Подстановка этой функции в (17.40) даст

. (17.45)

Теперь, когда мы определили , уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию . Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть заменена ее эквивалентом . Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8):

. (17.46)

У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка. Хотя она появилась на свет после длинной серии математических шагов, тем не менее у нее простое физическое происхождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной.

Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра. Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной и кинетической энергий

В общем случае разлагается на радиальную компоненту и на касательную компоненту , т. е.

Момент количества движения тоже сохраняется; пусть он равняется . Тогда можно написать

, или ,

т. е. энергия равна

Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член . Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя (этого можно было бы ожидать) появляется комбинация . Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квазиклассические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].

Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно . Оно очень похоже па (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член

. (17.47)

Его можно записать еще и так:

. (17.48)

(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится

. (17 49)

Поскольку член с только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент должен быть равен нулю (если только не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). А когда все квадратные скобки при любых обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в

. (17.50)

Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.

Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если , то ряд оборвется на . Условие на получается таким же: должно быть равно , где - целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс не может быть равен , в противном случае знаменатель обратится в нуль, а - в бесконечность. Иначе говоря, поскольку , то (17.50) подразумевает, что все последовательные обращаются в нуль, пока мы не придем к , которое может быть и не нулем. Это означает, что должно начинаться с и кончаться на .