§ 10. Прямая в пространстве
10.1 Уравнение прямой в каноническом виде
Рассмотрим в пространстве произвольную прямую
. Отметим на ней точку
, определяющую радиус, вектор
и лежащий на ней вектор
, приложенный к точке
. Произвольную текущую точку прямой
обозначим через
и ее радиус-вектор через
. Вектор
можно записать в виде
, где
- некоторое число (скаляр). Если действительная переменная
пробегает интервал
, то конец вектора
пробегает всю прямую
. Поэтому говорят, что равенство
(1)
есть уравнение прямой, проходящей через точку
и направленной в сторону вектора
.

Рис. 23
На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:
(1')
Исключая из них параметр
, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)
, (1'')
где
,
,
одновременно не равны нулю. Уравнения (1'') называются уравнениями прямой в каноническом виде.
Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел
,
,
равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.
Пример 1. Уравнения
(2)
определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).
Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:
,
,
т.е.
,
. (2')
Таким образом, рассмариваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2').
Пример 2. Уравнения прямой

эквивалентны следующим:
,
.