Эллиптический параболоид
. (10)
Так как в (10) присутствуют квадраты переменных
и
, то данная поверхность симметрична относительно координатных плоскостей
,
. Далее, так как мы считаем
, то поверхность (10) расположена в полупространстве
.
Пересекая поверхность (10) плоскостями
, в сечении будем получать эллипсы.

с полуосями
,
.
При изменении
от нуля до
данные эллипсы описывают нашу поверхность (10).
Пересекая поверхность (10) плоскостями
(или
), мы получим в сечении параболы

со смещенной вершиной в точке
.
При
поверхность (10) будет поверхностью вращения, получающейся от вращения параболы
около оси
. В этом случае поверхность (10) называют параболоидом вращения.
Точка
лежит на поверхности (10) и называется вершиной эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид изображен на рис. 46.

Рис. 46
Гиперболический параболоид
. (11)
По виду уравнения (11) заключаем, что данная поверхность симметрична относительно плоскостей
,
. Пересекая поверхность (11) плоскостями
, мы будем получать в сечении гиперболы
,
причем при
действительная ось симметрии гиперболы будет параллельной оси
, а при
- оси
. При
в сечении будут две пересекающиеся прямые.
При сечении поверхности (11) плоскостями
или
получим параболы, направленные ветвями вниз или вверх:
,
.
Поверхность (11) изображена на рис.47.

Рис.47