§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве
, (1)
где
,
,
- постоянные числа – коэффициенты уравнения.
В § 25 было перечислено восемь видов 1)-8) (частных случаев) уравнения (1) и была отмечена возможность доказательства того, что для каждого данного уравнения (1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из указанных видов.
Ниже дается доказательство этого утверждения.
Мы начинаем с того, что рассматриваем квадратичную форму, фигурирующую в левой части уравнения (1).
На основании теоремы 2 § 22 эту форму можно привести при помощи соответствующего ортогонального преобразования
(2)
к следующему виду:
,
где
- определенные действительные числа.
Подчеркнем, что равенства (2) определяют преобразование исходной прямоугольной системы координат
,
,
к некоторой другой прямоугольной системе
,
,
. Точка, имеющая координаты
в исходной системе, в новой системе имеет координаты
, получаемые посредством обращения операции (2).
В новой прямоугольной системе наша поверхность имеет, очевидно, уравнение
, (3)
где
, - некоторые постоянные числа.
Рассмотрим сначала случай, когда все три числа
отличны от нуля
.
В этом случае перенесем систему координат
так, чтобы ее начальная точка перешла в точку
; тогда получим вторую прямоугольную систему координат
, где
.
В ней уравнение нашей поверхности имеет вид

или
,
где
- некоторая константа. Если положить
,
то это уравнение упростится:
. (4)
Предположим, что числа
одинакового знака.
Если при этом
, то уравнению (4) удовлетворяет единственная точка, именно нулевая точка
(см. 7) §25).
Если
и имеет знак чисел
то, очевидно, нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (4). В этом случае поверхность (1) мнимая.
Если же
и имеет знак, противоположный знаку чисел
то уравнение (4) можно записать в виде
(5)
или полагая

в виде
.
Таким образом, поверхность (1) есть эллипсоид (см. 1) § 25).
Пусть теперь два из чисел
имеют один знак, а третье — противоположный им знак.
Если при этом
, то можно считать в уравнении (4), что
, умножая (4), если это нужно, на
и переставляя, если это нужно, местами
. Тогда, положив
,
получим уравнение конуса (см. 6) § 25)
.
При
воспользуемся снова формулой (5). Выделим два существенно различных случая:
(однополостный гиперболоид 2) § 25),
(двуполостный гиперболоид 3) § 25).
К этим двум случаям сводятся и остальные случаи путем соответствующей замены координат
.
Пусть теперь
. Тогда по крайней мере одно из чисел
равно нулю. Будем считать, что
, поменяв, если нужно, местами
.
Итак, пусть
. Выделим сначала случай, когда
. Тогда уравнение (3) имеет вид
,
где числа
могут быть любыми.
В плоскости
это есть общее уравнение кривой второго порядка. В пространстве
ему соответствует уравнение цилиндрической поверхности (см. 8) § 25), проходящей через плоскую кривую второго порядка с образующей, параллельной оси
(см. 8) § 25).
Далее мы будем всегда считать, что
и
, и тогда уравнение (3) имеет вид
. (3')
Существенно различными случаями являются следующие: а)
; б)
;
в)
. Другие случаи сводятся к ним заменой координат или умножением на
.
Рассматриваем случай а)
. Вынесем за скобки множители
и
и дополним выражения в этих скобках до полных квадратов. Тогда получим, учитывая, что
отличны от нуля,
,
где
- соответствующие числа. Полагая
,
получим

или
. (6)
Если
, то уравнение (6) имеет вид
(эллиптический параболоид 4) § 25) (7)
.
Если же
, то заменяя
, на
, мы снова получим уравнение вида (7), т. е. эллиптический параболоид.
Рассмотрим теперь случай б)
. Воспользуемся уравнением (6). Если
, то это уравнение записывается в виде
(гиперболический параболоид см. 5) § 25) (8)
.
Если же
, то после замены местами
и
снова получим уравнение вида (8), т. е. гиперболический параболоид.
Переходим теперь к случаю в)
. Тогда уравнение (3') сводится к следующему:
.
Вынося за первые скобки
, дополняя выражение в этих скобках до полного квадрата (учитывая, что
), получим
,
где
- некоторые числа. После замены

это уравнение превратится в следующее:
. (9)
Рассмотрим в плоскости
вектор
. Запишем его в виде
,
где
- длина
, а
- единичный вектор, направленный в сторону
. Другой вектор 
тоже единичный и перпендикулярен к первому.
Введем в плоскости
ортогональное преобразование
.
Этим прямоугольная система координат
заменяется на прямоугольную систему координат
, а прямоугольная система координат
заменяется на прямоугольную систему координат
. В результате уравнение (9), которое может быть записано так:
,
принимает следующий вид:
,
или меняя
на
,
,
или наконец меняя местами
и
,
,
т. е. мы получили уравнение параболического цилиндра (в прямоугольных координатах
).
Мы рассмотрели все случаи, могущие иметь место для уравнения (1), и в каждом из них нашли прямоугольную систему координат, в которой уравнение (1) имеет один из видов 1)-8) § 25. Утверждение доказано.