4.3. Однородная система.
Система уравнений вида
(5)
называется однородной. Она является частным случаем системы (1) при
. Ясно, что нулевой вектор
, …, 
удовлетворяет однородной системе (5). Но может случиться, что однородная система (5) удовлетворяется не нулевым вектором
, т. е. вектором, имеющим хотя бы одну компоненту
. Его называют нетривиальным решением однородной системы (5), а нулевой вектор поэтому называют тривиальным решением однородной системы (5).
Теорема 2. Если определитель
однородной системы (5) не равен нулю
, то эта система имеет только тривиальное решение.
В самом деле, в силу свойства г) все определители
(см. (4)), поэтому в силу равенств (3)
.
Теорема 3. Если система уравнений (5) имеет нетривиальное решение, то ее определитель
необходимо равен нулю
.
В самом деле, если бы
, то по теореме 2 система (5) имела бы только одно тривиальное решение.
Выше мы исследовали линейную систему (1) в случае, когда ее определитель
. В этом случае было показано (теорема 1), что система (1) имеет для любой правой части
единственное решение, вычисляемое по формулам (3).