1.3.2. Уравнения с разделенными переменными.Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными, если Оно имеет вид
Далее будем считать, что
определенное на некотором интервале Тогда имеет место тождество
откуда, интегрируя, получим
Здесь интегралы во втором равенстве произведена замена переменной Итак, любое решение при некоторой постоянной
Левая часть равенства (5) есть функция
со свойствами
Если продифференцировать формально (5) по
т. е. исходное дифференциальное уравнение (4). Таким образом, равенство (5) есть общий интеграл дифференциального уравнения (4) для его решений вид Рассуждая аналогично, меняя местами роль Таким образом, равенство (5) будет общим интегралом дифференциального уравнения (4) как для решений вида Пример 1.
Пример 2. Эти интегралы нельзя выразить в элементарных функциях. Все же мы считаем задачу, с точки зрения теории дифференциальных уравнений, решенной.
|