§ 5.7. Малые колебания струныСтруной называется тонкая нить, работающая на растяжение, но не на изгиб. Если ненатянутую струну мять, она не сопротивляется, однако если ее растягивать, то в ней возникают напряжения. Пусть концы куска натянутой струны закреплены в точках Рис. 125 Отклонение струны в любой ее точке, имеющей абсциссу
Выведем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция На рис. 125 изображен график нашей струны в момент времени На элемент ее, соответствующий отрезку
Сила
Так как струна совершает малые колебания, то можно считать приближенно
Таким образом,
Проекция силы
Проекция же силы
Сумма этих проекций равна
Мы пренебрегаем бесконечно малыми более высокого порядка, чем С другой стороны, произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно
Поэтому на основании закона Ньютона
Сокращая на
Теперь математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, можно сформулировать так: требуется решить линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка (1) при начальных условиях
и при краевых условиях
Начальные условия (2) показывают, в каком положении находилась струна в начальный момент времени и какова скорость каждой ее точки при Краевые условия (3) показывают, что концы струны закреплены в точках Решение поставленной задачи можно провести методом Фурье (так же как в § 5.5). Ищем сначала решение уравнения (1) в виде произведения
удовлетворяющее граничным условиям
для всех
потому что иначе было бы Подставляя произведение (4) в (1), получим
или
Но функция от
В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
Уравнение (6) надо решить с краевыми условиями
и соответствующие им нетривиальные функции (собственные функции)
удовлетворяющие при этих числах условиям (5). Общее решение уравнения (7) при найденных
Следовательно, все решения дифференциального уравнения (1) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (5), можно записать в виде
где постоянные суть решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (5). Вместе с этими суммами обладают этим свойством и суммы бесконечных рядов
если числа Теперь в нашем распоряжении имеется большой запас функций Чтобы найти решение поставленной задачи, удовлетворяющее начальным условиям (2), дифференцируем (8) по
и приравниваем (8) и (9) при
Отсюда
Если функции
|