§ 6.2. Производная функция комплексного переменного

Пусть задана однозначная функция  на области  (открытом связном множестве) комплексной плоскости .

Производной от функции  в точке  называется предел

                 (1)

когда  любым образом стремится к нулю.

Далеко не всякая функция комплексного переменного имеет производную. Существование предела (1) – очень сильное требование: при подходе  к  по любому пути каждый раз должен существовать указанный в (1) предел.

Функцию , имеющую непрерывную производную в любой точке области  комплексной плоскости, называют аналитической функцией на этой области.

Можно доказать, что если производная аналитической функции  не равна нулю на области , то множество значений  функции  также есть область. Мы будем пользоваться этим свойством.

Дадим геометрическое представление производной , когда она не равна нулю. Кроме плоскости , введем еще другую плоскость точек . Опишем из точки  открытый круг  радиуса  с центром в ней (рис. 131).

Рис. 131

Произвольная точка  имеет вид , где  - произвольное комплексное число с модулем, меньшим . Запишем  в показательной форме

  .               (2)

При помощи функции  круг  перейдет в некоторую область  плоскости . Область  состоит из точек , где приращения  соответствуют всевозможным указанным приращениям  (см. рис. 131).

Из (1) следует равенство

, где .

Умножая левую и правую части последнего равенства на , получаем

.                (3)

Произведение  стремится к нулю при  быстрее чем . Поэтому, если , то первый член правой части (3) является главным. Приближенно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка (по сравнению с ), при достаточно малых  можно написать

.

Число  запишем в показательной форме

  .            (4)

Поэтому, учитывая (2), получим

  .

Мы видим, что модуль , с точностью до бесконечно малой высшего порядка, в  раз больше модуля :

,

а аргумент  (тоже с точностью до бесконечно малой высшего порядка) получается из аргумента  прибавлением к нему числа  (рис. 132):

.

Таким образом, для того чтобы представить себе, куда перешли точки  с  при помощи функции  надо 1) повернуть круг  на угол  и 2) растянуть его в  раз. Каждая точка , , при помощи этих двух операций перейдет в некоторую точку, которую надо еще сдвинуть на величину  - бесконечно малую высшего порядка чем .

Пусть  и  - гладкие кривые, выходящие из точки . Касательные к ним образуют с осью  углы соответственно  (отсчитываемые от оси  против часовой стрелки). Образы этих кривых  на плоскости  (рис. 133) при помощи функции  имеют касательные в точке , образующие с осью абсцисс соответственно углы  (которые отсчитываются тоже против часовой стрелки).

Рис. 132

При этом (в силу свойства 1))

, ,

откуда следует свойство

,

выражающее, как говорят, что данное отображение сохраняет углы и притом с сохранением направления отсчета (если , то ).

Рис. 133

Кроме того, как мы видели выше, данное отображение осуществляет в каждой точке , где , растяжение, не зависящее от направления.

Отображение, обладающее (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) свойством сохранения углов (с сохранением направления отсчета) и свойством постоянства растяжений, называется конформным отображением.

Из вышеизложенного следует, что отображение с помощью аналитической функции  является конформным во всех точках, где .

Замечание 1. Если функция  комплексной переменной  имеет всюду на области  производную , то автоматически эта производная непрерывна всюду на , т. е.  аналитическая на . Этим утверждением мы будем пользоваться, хотя доказывать его не будем.

Замечание 2. Из равенства (3) следует, что если функция  имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке (т. е.  при ).

Производная от функции  порядка  обозначается через  и определяется по индукции

  .

Зная, что у аналитической на области  функции  производная непрерывна на , нам будет в дальнейшем нетрудно заключить, что  имеет на  непрерывные производные любого порядка

.

Употребляют еще такую терминологию: функция  называется аналитической в точке , если она аналитическая на некоторой окрестности этой точки. Наконец, говорят, что функция  аналитическая на замыкании  области , если существует область , содержащая в себе  , на которой  аналитическая.

Приведем основные свойства производных функций комплексного переменного, аналогичные соответствующим свойствам производных для функций действительного переменного, которые и доказываются аналогично:

,             (5)

,               (6)

         ,                  (7)

.              (8)

Формулу (8) надо понимать так: если  есть функция  комплексного переменного , имеющая производную , a  - функция от комплексной переменной , имеющая производную , то производная сложной функции

вычисляется по формуле (8).

Ниже мы приводим некоторые элементарные функции комплексного переменного.

Степенная функция

,

 - целое.

Эта функция имеет производную, вычисляемую по формуле

 .

При  ее удобно вычислить как предел

,

применяя формулу бинома Ньютона.

При  теперь можно воспользоваться формулой (7).

Функция  при  аналитическая на всей плоскости , а при  на всей плоскости с выколотой из нее точкой .

Функции , , , .

Первые три из этих функций определены в нашей книге «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.13, как суммы степенных рядов:

,

,

.

Радиус сходимости каждого из этих рядов равен . Поэтому производные от этих функций могут быть получены для любого  почленным дифференцированием соответствующих рядов:

.

.

.

Формулы для тригонометрических функций суммы комплексных аргументов остаются такими же, как и в случае действительного переменного.

Функция  определяется по формуле

.

Ее производная равна

       ,

что следует из формулы (7).

Функция  () может быть определена по формуле

.

Ее производная вычисляется на основании формулы (8) о производной сложной функции:

.

Гиперболические функции , ,  определяются формулами

, , .

Отсюда следует, что

, .                    (9)

Заменяя в (9)  на , получаем

, .               (10)

Отметим еще легко проверяемую формулу

.

Формулы сложения для гиперболических функций легко получить из (9) и (10) соответствующих формул для тригонометрических функций от комплексного переменного. Например:

.

Производные от этих функций вычисляются на основании формул (5), (7), (8):

,  ,

                      .

Пример. Выделить действительную и мнимую части у функции  и найти нули этой функции.

Пусть , .

Имеем .

Таким образом, , .

Чтобы найти нули функции , мы должны приравнять нулю ее действительную и мнимую части:

Решим эту систему. Так как  для любого действительного , то из первого уравнения получаем .

Из второго уравнения при  получаем, что . При действительных  косинус и синус не обращаются одновременно в нуль, поэтому при  система решений не имеет. Если же , то  и второе уравнение удовлетворяется при любых . Таким образом, нули функции  расположены на действительной оси  и совпадают с нулями .

Замечание 3. Из этого утверждения следует, что нули функции  совпадают с нулями функции , где .

Замечание 4. Отметим еще § 6.15, посвященный линейной и дробно-линейной функциям; его можно читать и непосредственно после настоящего § 6.2.