§ 6.8. Интеграл типа Коши
Выражение
,
где
- аналитическая функция на замкнутой области
, ограниченной положительно ориентированным контуром
, называется интегралом Коши.
Если
лежит внутри
, то интеграл равен
, если же
лежит вне
,то
- аналитическая функция на
и, следовательно, интеграл Коши равен нулю.
Пусть теперь
- любая кусочно-гладкая ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и
- непрерывная функция, определенная вдоль
. Выражение
(1)
называется интегралом типа Коши. Оно представляет собой функцию
, определенную вне
.
Теорема 1. Интеграл (1) типа Коши есть аналитическая функция
для всех
.
Производная порядка
от
вычисляется по формуле
(2)
Доказательство. Пусть
есть произвольный круг, не имеющий общих точек с кривой
. Функция двух комплексных переменных
и 

непрерывна на множестве
и имеет на нем непрерывную частную производную

(надо учесть, что так как круг
не пересекается с
, то при любых
и
разность
). Это показывает, что дифференцирование
по параметру
законно произвести под знаком интеграла в (1):
.
При этом производная
непрерывна вне
(см. § 2.4, теорема 4, которая легко обобщается на случай интеграла от комплексного переменного). Но тогда
аналитична вне
.
Мы доказали формулу (2) в случае
. Для
рассуждения ведутся по индукции.
Следствие. Если функция
аналитическая в области
, т. е. имеет непрерывную первую производную на
, то она имеет производные всех порядков.
Доказательство. Пусть
- любая точка
и
- круг с центром в
, целиком лежащий в области
, а
- окружность - граница
, ориентированная против часовой стрелки. Тогда по формуле Коши

т. е. функция
изображается интегралом типа Коши при
и
. Значит, в силу теоремы 1
бесконечно дифференцируема и
. (3)