§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производнойЧтобы решить дифференциальное уравнение
можно попытаться сначала решить его относительно
Любое решение каждого из уравнений (2) будет решением уравнения (1). Все же следует попытаться выяснить, исчерпывают ли они все решения (1). Например, чтобы решить уравнение
тождественными преобразованиями его левой части приведем его к виду
Рассмотрим два дифференциальных уравнения первого порядка
Общие их интегралы имеют соответственно вид
где Но из указанных частных решений последних двух уравнений можно строить и другие частные решения уравнения (3). Например, функция является решением уравнения (3). Эта интегральная кривая составлена из двух интегральных кривых, принадлежащих разным семействам (4) (рис. 11). Ниже рассматриваются два Рис.11 частных вида дифференциального уравнения (1), для которых можно указать иные пути их решения. 10. Левая часть уравнения (1) не содержит
Будем считать, что функция Пусть
Обратно, из того, что для непрерывно дифференцируемой функции
где Мы доказали, что общее (любое) решение дифференциального уравнения (б) определяется равенством (6), где 20. Левая часть уравнения (1) не содержит
Если уравнение (7) можно разрешить относительно Допустим, что уравнение (7) нельзя или трудно решить относительно Введем в рассмотрение параметр
откуда
или
Теперь, исключая из системы
параметр Систему (8) можно также рассматривать как параметрическое задание решения уравнения (7). Параметр
Пример. Решить уравнение Если ввести параметр Из системы получаем
т. е. любое решение нашего дифференциального уравнения есть решение уравнения (4) при некоторой постоянной Рис. 12 В данном случае можно также параметр ввести по формуле Замечание. Аналогичным образом рассматривается дифференциальное уравнение вида
|