§4.2. Сходимость тригонометрических рядов

Пусть задан тригонометрический ряд

.                                   (1)

Чтобы выяснить, сходится ли он, естественно рассмотреть числовой ряд

                                                                     (2)

мажорирующий, как говорят, ряд (1). Его члены превышают соответственно абсолютные величины членов ряда (1):

.

Отсюда следует, что если ряд (2) сходится, то сходится также ряд (1) для всех  и притом абсолютно и равномерно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.8, теорема 1). Но ряд (1) может сходиться без того, чтобы сходился ряд (2). Ведь его члены для каждого  при изменении  меняют знак (осциллируют) бесконечное число раз, и он может оказаться сходящимся вследствие компенсации положительных членов отрицательными. В общей теории рядов существуют признаки сходимости подобных рядов. Такими признаками являются признаки Дирихле и Абеля (см. § 9.9, теоремы 3, 4 той же книги), хорошо приспособленные к исследованию тригонометрических рядов.

Так или иначе, если установлено, что ряд (1) равномерно сходится, то из того, что его члены суть непрерывные функции периода , следует, что и его сумма

                                                   (3)

есть непрерывная функция периода  (см. § 9.8, теорема 2 и § 9.9, теорема 2 той же книги) и ряд (3) можно почленно интегрировать.

Ряд (3) можно формально продифференцировать по:

                                                    (4)

и составить его мажорирующий ряд

                                                                         (5)

Снова, если ряд (5) сходится, то ряд (4) сходится и притом равномерно. Больше того, на основании известной теоремы из теории равномерно сходящихся рядов тогда сумма ряда (4) есть производная от суммы ряда (3), т. е.

.

Вообще, если ряд

при некотором натуральном  сходится, то ряд (3) законно дифференцировать почленно  раз.

Впрочем, надо помнить, что не исключено, что ряд (3) законно продифференцировать и еще один раз (т. е.  раз).

Пример. Выяснить, сколько раз можно продифференцировать почленно ряд

.

Продифференцируем данный ряд формально  раз:

.

Мажорирующий ряд  сходится при любом натуральном , что можно установить с помощью признака Даламбера. Поэтому исходный ряд можно дифференцировать почленно сколько угодно раз.

Задача. Сколько раз заведомо можно продифференцировать почленно ряды

а) , б) ,

в) .

Сколько непрерывных производных заведомо имеют суммы этих рядов (см. также пример 1 § 9.9 той же книги).