§ 4.17. Полнота систем функций в С и L2’
Систему непрерывных на отрезке
функций
(1)
называют полной в пространстве
непрерывных функций, если для любой функции
и любого
найдется конечная линейная комбинация из этих функций
(2)
такая, что для всех
выполняется неравенство
. (3)
Говорят еще, что система (1) полна в пространстве
, если для любой функции
и любого
найдется линейная комбинация (2) такая, что
. (4)
Если система (1) полна в
, то она полна также в
.
В самом деле, пусть
). Зададим
и подберем непрерывную функцию
(см. ниже пример) так, чтобы
.
А для последней подберем сумму (2), чтобы выполнялось неравенство (3). Тогда

где правая часть может быть взята как угодно малой.
В § 4.9 мы рассматривали произвольную ортонормальную на отрезке
систему функций
и называли ее полной в
, если ряд Фурье любой функции
по этой системе сходится к
в смысле среднего квадратического.
Таким образом, в случае ортонормированной системы
(5)
мы имеем два определения полноты в
. Они эквивалентны. В самом деле, пусть ортонормированная система (5) в
в смысле § 4.9, и пусть
.
Тогда
,
и при достаточно большом
и
получим неравенство (4). А это доказывает, что система (5) полна в смысле второго определения.
Обратно, если система (5) полна в смысле второго определения и задана функция
, то для всякого
найдется линейная комбинация
, такая, что (пояснения ниже)

для любого
, второе и третье неравенство этой цепи следует из теоремы в § 4.9 получим, что ряд Фурье функции
по системе (5) сходится к ней в смысле среднего квадратического.
Пример. На рис. 121, а изображена функция
, разрывная в точке
, а на рис. 121, б она видоизменена в
-окрестности
, так что получилась непрерывная функция
. Для любого
можно указать
так, что
.

Рис. 121 а Рис. 121 б
В § 4.9 было сформулировано без доказательства важное утверждение о том, что ряд Фурье функции
по тригонометрической системе сходится к
в смысле среднего квадратического. После того как мы доказали теорему Вейерштрасса (см. § 4.16), это утверждение можно полностью обосновать.
В самом деле, мы уже пользовались теоремой 1 § 4.9, утверждающей справедливость равенства
,
где
- коэффициенты Фурье функции
по ортонормированной системе
. Отметим, что это равенство имеет место и для произвольной ортогональной, не обязательно нормальной системы. В этом случае коэффициенты Фурье
.
Тригонометрическая система

ортогональна на отрезке
.
Теорема Вейерштрасса выражает тот факт, что эта система полна в
, но тогда, как мы знаем, она полна в
.
А это и означает, что ряд Фурье по тригонометрической системе любой функции
сходится к ней в смысле среднего квадратического.