3. Восстановление дискретных сигналов по коэффициентам разложения

Введение

На сегодняшний день имеется достаточно полный математический аппарат для синтеза оптимальных алгоритмов восстановления сигналов по отдельным отсчетам [1,2]. Наиболее известными среди них являются фильтр Винера и Калмана [1,2]. Вместе с тем, существует множество прикладных задач, в которых исходный сигнал повергается линейным преобразованиям, а затем восстанавливается по неточным или квантованным преобразованным данным. Например, при сжатии изображений сигнал раскладывается по некоторым базисным функциям с целью сокращения статистической избыточности, а на приемной стороне восстанавливается по неточным (квантованным) коэффициентам разложения. При этом неточности в коэффициентах часто можно представить в виде случайной добавки, т.е. описать наблюдения на основе аддитивной модели. Также следует отметить, что при синтезе алгоритмов восстановления по коэффициентам разложения необходимо получать не только малые потери, но и иметь возможность быстро вычислять оценки значений отсчетов сигнала. Таким образом, существует задача оптимального восстановления сигнала в смысле минимума дисперсии ошибок оценивания по наблюдаемым коэффициентам разложения на фоне аддитивного гауссовского шума с помощью быстрых алгоритмов.

Восстановление стационарных сигналов по
неточным коэффициентам разложения

Рассмотрим задачу восстановления дискретных случайных последовательностей (СП)  с минимальными потерями, в смысле минимума дисперсии ошибок восстановления, по наблюдениям

,

где  - известные базисные вектора;  - гауссовская случайная величина с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией . Восстановление вектора  осуществляется на основе вычисленных синтезирующих базисных векторов  по наблюдаемым коэффициентам .

Оптимальный алгоритм восстановления можно найти из условия минимума дисперсии ошибки оценивания:

,                                        (1)

где  -  матрица формирования коэффициентов разложения ;  - базисный вектор синтеза, который можно интерпретировать как набор коэффициентов восстанавливающего фильтра. Оптимальный вектор коэффициентов  находится путем дифференцирования выражения (1) по :

.                 (2)

Учитывая, что шум наблюдений  некоррелирован с элементами вектора , имеем:

,                                             (3)

где  - ковариационная матрица вектора ;  - взаимная корреляция оцениваемого элемента и вектора ;  - диагональная матрица дисперсий шума наблюдений. Подставляя найденный вектор  в выражение (1) и раскрывая знак математического ожидания, получим выражение для дисперсии ошибки восстановления

.             (4)

Анализ выражений (3) и (4) показывает, что они соответствуют оптимальному фильтру Винера при , где матрица  только выделяет соответствующие элементы вектора .

Оценка -го элемента строится на основе вектора  в виде линейной комбинации:

и алгоритм восстановления вектора  можно записать как

.                                              (5)

Для вычисления оптимальных векторов  и  необходимо продифференцировать выражение (1) по  и . В результате получается система нелинейных матричных уравнений, аналитическое решение которой является сложной задачей. Однако если вектора  функционально связаны с векторами , то из условия минимума дисперсии ошибки оценивания получается известное преобразование Карунена-Лоэва (ПКЛ) [3]. Так как базисные функции  ПКЛ при разном  независимы между собой, то оптимальные коэффициенты восстанавливающего фильтра  находятся по формуле

,                                      (6)

которая позволяет вычислять базисные функции синтеза ПКЛ с учетом шума наблюдения.

Проведем сравнительный анализ ПКЛ без учета и с учетом шума наблюдения для вектора  размером 32 элемента, заданного авторегрессионным уравнением первого порядка с коэффициентом корреляции . На рис. 1 представлены сравнительные характеристики средних дисперсий ошибок восстановления  при разном числе наблюдений и дисперсиях шума наблюдения.

Из рис. 1 видно, что ПКЛ без учета шума наблюдения проигрывает ПКЛ с учетом шума наблюдения. Это связано с изменением энергии базисных функций синтеза  преобразования (6) по сравнению с энергией базисных функций обычного ПКЛ. Так, например, при  и  произведение

Рис. 1. Зависимости средней дисперсии ошибки восстановления
от числа наблюдений и дисперсии шума:

1 – ПКЛ без учета шума наблюдения;

2 – ПКЛ с учетом шума наблюдения

Анализ данного выражения показывает, что вклад высокочастотных коэффициентов при восстановлении меньше по сравнению с низкочастотными, в которых содержится больше информации об исходном сигнале. Если бы результатом произведения  являлась единичная матрица, то высокочастотные коэффициенты приводили бы к уменьшению точности восстановления, т.к. они добавляли бы больше шума наблюдения, чем полезной информации. Поэтому изменение энергии  приводит к уменьшению средней дисперсии ошибки восстановления по сравнению с обычным ПКЛ.

Уменьшить вычислительную сложность алгоритма восстановления можно путем замены базисных векторов  ПКЛ соответствующими базисными векторами дискретного косинусного преобразования (ДКП), которые, как известно, хорошо аппроксимируют ПКЛ и имеют быстрый алгоритм вычисления [4]. Коэффициенты оптимального восстанавливающего фильтра можно найти по формуле (3). На рис. 2 представлены выигрыши алгоритма восстановления с базисными векторами ПКЛ по сравнению с алгоритмом восстановления с базисными векторами ДКП: , где  и  - средние дисперсии ошибок восстановления алгоритмов на основе ДКП и ПКЛ соответственно.

Рис. 2. Распределение выигрыша алгоритма на основе ПКЛ
по отношению к алгоритму на основе ДКП

Из рис. 2 видно, что алгоритм восстановления на основе ПКЛ показывает незначительный выигрыш по сравнению с алгоритмом на основе ДКП. При этом максимальный выигрыш 0,6% достигается при , что для многих практических задач не является принципиальным. Поэтому в качестве базисных векторов  целесообразно использовать вектора ДКП.

Проведем сравнительный анализ алгоритмов восстановления на основе ДКП с учетом и без учета шума наблюдений. На рис. 3 а) представлены выигрыши  алгоритма на основе ДКП с учетом шума наблюдений и традиционного ДКП, а на рис. 3 б) реализации исходной и восстановленной авторегрессионной последовательностей на основе ДКП с учетом шума наблюдений.

Рис. 3. Выигрыши алгоритма на основе ДКП с учетом шума наблюдений
по отношению к алгоритму на основе традиционного ДКП:

а) – теоретические значения выигрышей;

б) – практические результаты восстановления

Из рис. 3 а) видно, что выигрыш алгоритма на основе ДКП с учетом шума наблюдений может достигать 13% уже при незначительных значениях дисперсии шума наблюдения . Причем при увеличении  выигрыш также увеличивается. Проведенный эксперимент по восстановлению авторегрессионной последовательности (рис. 3 б) показал, что оценка дисперсии ошибки восстановления , полученная на основе ДКП с учетом шума наблюдений, близка к теоретическому значению , а оценка выигрыша  близка к своему теоретическому значению .

Следует отметить, что базисные вектора синтеза  для алгоритма на основе ДКП с учетом шума наблюдений отличаются от базисных векторов синтеза  традиционного ДКП, поэтому на этапе восстановления может не существовать быстрого алгоритма. Решить данную проблему можно, если положить, что базисные вектора  отличаются от векторов  в  раз, т.е. . При этом коэффициент  будет характеризовать изменение энергии вектора  и позволит получить лучшее преобразование. В этом случае дисперсия ошибки оценивания записывается как

,                                          (7)

где  - -матрица состоящая из векторов анализа ДКП;  - вектор содержащий первые  значений вектора синтеза . После дифференцирования выражения (7) по  и приравнивания результата нулю, получим оптимальное значение коэффициента:

.

и алгоритм восстановления вектора  принимает вид

.                                           (8)

Проведем сравнительный анализ восстановления вектора  с помощью алгоритма (8) и традиционного ДКП при разном числе наблюдений и коэффициентов корреляции. На рис. 4 представлены выигрыши алгоритма восстановления (8) по отношению к ДКП.

Рис. 4. Распределение выигрыша алгоритма восстановления (8)
по отношению к традиционному ДКП

Из рис. 4 видно, что выигрыш алгоритма (8) может достигать 2,5% при дисперсии шума наблюдения . Однако платой за высокую скорость преобразования является заметное уменьшение величины выигрыша по сравнению с. алгоритмом восстановления (5) с 13% до 2,5%. Таким образом, выбор в пользу того или иного алгоритма восстановления следует выбирать исходя из конкретной прикладной задачи.

Заключение

Из представленных в данной работе теоретических и практических результатов восстановления следует, что учет шума наблюдения в коэффициентах разложения позволяет заметно улучшать качество восстановления в соответствии со среднеквадратическим критерием. Причем сформулированный подход к синтезу не ограничивается представленными в данной работе алгоритмами, а охватывает весьма широкий класс возможных их реализаций. Кроме того, при определенных аппроксимациях или условиях, накладываемых на базисные вектора синтеза, можно получать быстрые алгоритмы вычисления оценок сигнала.

Основным недостатком описанного метода является сложность его обобщения для непрерывных неограниченных во времени сигналов. Однако для многих практических задач цифровой обработки, данные ограничения не являются принципиальными и предложенный метод восстановления может быть успешно применен.

Литература

1.      Адаптивные фильтры: Пер. с англ./Под ред. К. Ф. Н. Коуэна и П.М. Гранта. – М.: Мир, 1988. – 392 с.

2.      Васильев К.К. Методы обработки сигналов: Учебное пособие. – Ульяновск, 2001. – 80 с.

3.      Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ./Под ред. И.Б. Фоменко.-М.: Связь, 1980.-248 с.

4.      Залмазон Л.А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях.-М.: Наука, 1989.-496 с.