2. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Колин Ф.Н. Коуэн

2.1 Введение

Концепции оптимального линейного оценивания являются фундаментальными при любом рассмотрении адаптивных фильтров. В данной главе представлены основы теории оценивания на базе анализа свойств как оптимальных не рекурсивных, так и рекурсивных устройств оценки. Здесь не освещены основные положения теории случайных величин, но их можно найти в работе Ассефи [19].

Процесс адаптивной фильтрации включает два этапа проведения оценивания:

1.     оценивание искомого выхода фильтра;

2.     оценивание весов фильтра, необходимых для достижения вышеупомянутой цели.

Второй из этих двух этапов необходим вследствие того, что в случае адаптивной фильтрации характеристики входного сигнала априорно неизвестны.

Наиболее широко распространенным типом структуры адаптивного фильтра является структура, в которой используется архитектура с конечной импульсной характеристикой (КИХ), рассматриваемая в гл. 3. Эти фильтры должны сходиться к решению с помощью оптимального не рекурсивного устройства оценки, причем решение задается уравнением Винера – Хопфа [343], которое выводится в разд. 2.2. Адаптивные фильтры с бесконечной импульсной характеристикой  (БИХ) рассмотрены в гл. 4, а в разд. 2.3 обсуждается оптимальное рекурсивное устройство оценки (фильтр Калмана).

Синтез этих устройств оценки существенно зависит от определения стоимостной функции, в соответствии с которым, качество оценивания характеризуется разностью между выходным сигналом устройства оценки и истинным параметром, подлежащим оцениванию:

  (2.1)

Здесь  - ошибка оценивания; - случайная величина, которую необходимо оценить, и, которая может быть детерминированной, а  - оценка , выполненная с помощью нашей системы оценивания, причем:

 ,        (2.2)

т.е - линейная функция последовательности входных сигналови набора весов фильтра . Наблюдаемую последовательность сигналов в общем виде можно представить как исходную последовательность , искаженную аддитивным белым шумом с дисперсией :

   (2.3)

Наиболее употребительным при проведении оптимального оценивания является метод наименьших квадратов (МНК). Среднеквадратичная ошибка определяется как:

    (2.4)

Она минимизируется относительно весовых коэффициентов устройства оценки для получения оптимального оценивания по критерию МНК [34, 170, 343]. Следует отметить, что можно применять не только описанную функцию стоимости. Альтернативными будут такие функции, как абсолютная величина ошибки и нелинейная пороговая функция. Вид этих функций ошибок показан на рис 2.1. Нелинейная пороговая функция ошибки используется в том случае, когда имеется приемлемый интервал ошибок (т.е. существует заданная допустимая ошибка). При использовании критерия наименьшего среднеквадратичного малые ошибки вносят меньший вклад, чем большие ошибки    (в противоположность критерию абсолютной величины ошибки, который дает одинаковый вес для всех ошибок).

Рис 2.1 Зависимость ошибки от функции стоимости для различных минимизирующих функций стоимости