3.2.2. Алгоритм РНК с экспоненциальным взвешиванием

Адаптивный алгоритм, выведенный выше, обладает бесконечной памятью. Значения коэффициентов фильтра представляют собой функции всех предыдущих значений входного сигнала. Как будет рассмотрено далее, часто полезно вводить в алгоритм «множитель забывания», чтобы последние данные обладали большей значимостью, чем старые данные. Одним из способов реализации этого является замена функции стоимости в виде суммы квадратов на экспоненциально взвешенную сумму квадратов значений выходного сигнала:

                         (3.16)

где константа  определяет эффективную память алгоритма. Когда , алгоритм , как и ранее, имеет бесконечную память. Когда , алгоритм будет иметь эффективную память в течении  выборок сигнала. Это можно понять, если рассмотреть случай, когда . Тогда

      (3.17)

Мы определим продолжительность эффективной памяти как величину , при которой . Таким образом,  или . Когда константа  очень близка к единице, .

Чтобы понять влияние множителя забывания на рекурсивный алгоритм, запишем новый критерий ошибки в виде:

                (3.18)

где    

            (3.19)

Умножение (3.4) на  и решение относительно , как и прежде, даст        [см. (3.7],

                (3.20)

Теперь, вновь мы определим  в виде:

            (3.21)

откуда следует, что

           (3.22)

Обращение (3.22) дает:

                           (3.23)

Таблица 3.1. Алгоритм РНК (с экспоненциальным взвешиванием и учетом ступенчатой функции «окна»)

Начало: На каждом временном этапе делать следующее:     Вычислить выходной сигнал фильтра: Корректировать усиление:  Корректировать коэффициенты фильтра и состояния фильтра: Оператор сдвига вниз:

Далее отметим, что:

                         (3.24)

Следуя по тому же пути, как и ранее, легко показать, что (3.15) все еще выполняется, хотя при расчете  используется новое определение :

          (3.25)

Полный алгоритм суммируется в табл. 3.1. Структура РНК – адаптивного фильтра изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Адаптивный фильтр на основе рекурсивного метода наименьших квадратов.

На выходе фильтра получаем