3.2.1. Вывод алгоритма РНК

Для вывода рекурсивного алгоритма наименьших квадратов рассмотрим случай, где производится только одно дополнительное наблюдение . Определяя

      (3.8)

имеем

    (3.9)   

где

               (3.10)

Инверсию матриц в (3.9) можно переписать в виде:

             (3.11)

Это уравнение следует из матричного тождества

                (3.12)

которое выполняется для всех матриц , ,  и  совместимых размерностей (для невырожденной матрицы ).

Затем отметим, что

     (3.13)

Определим  

 (3.14)

Используя определение (3.14), из (3.13) имеем

   (3.15)

Уравнение (3.11), (3.14) и (3.15) представляют алгоритм РНК. Начальное значение  можно получить, либо оценивая  из начального набора данных,  или просто допуская, что , где - большое (положительное) число; как правило, . Аналогично, начальное значение  можно получить, считая, что , или  просто  полагая .