3.2.4. Стохастическая интерпретация

Алгоритм РНК был выведен без принятия каких-либо допущений о входных данных. Его определяющее свойство – минимизация суммы квадратов значений выходного сигнала на каждом временнóм шаге. Этот факт очень полезен сам по себе. Однако часто бывает, что о различных особенностях характеристик фильтра желательно знать больше. Чтобы детальнее исследовать свойства такого фильтра, необходимо принять некоторые допущения относительно статистических характеристик данных. Однако, важно помнить, что алгоритм будет выполнять заданную функцию [минимизацию  или ] для произвольных входных последовательностей. Рассмотрим случай стационарного стохастического процесса с данными , нулевым средним и функцией корреляции

       (3.26)

Основным свойством стационарных стохастических процессов является эргодичность. В несколько упрощенной формулировке это означает, что в пределе средние по времени значения можно заменить математическими ожиданиями. В частности, отметим, что

             (3.27)

Отсюда вытекает

             (3.28)

и

        (3.29)

а, следовательно,

               (3.30)

   и         (3.31)

Иначе говоря, вектор коэффициентов фильтра сходится к решению уравнений Юле – Уокера [321, 345]

                      (3.32)

и соответствующим образом нормализованная матрица сходится к матрице, обратной ковариационной. Приведенные выше рассуждения представляют собой лишь правдоподобную аргументацию. Но не формальное доказательство. Однако, эти факты можно строго доказать при некоторых не жестких условиях регулярности.

Остается рассмотреть ограничивающий фильтр, т. е. фильтр с вектором коэффициентов . Напомним, что алгоритм РНК был разработан для минимизации суммы квадратов выборок выходного сигнала. Неудивительно, что ограничивающий фильтр, как можно показать, минимизирует дисперсию выходного процесса. Для понимания этого рассмотрим следующую проблему линейного оценивания методом наименьших квадратов. Обозначим  предиктор - го порядка процесса , имеющий упреждение в один такт.

            (3.33)

Коэффициенты предиктора  выбираются так, чтобы минимизировать дисперсию ошибки предсказания  по методу наименьших квадратов:

          (3.34)

Хорошо известное свойство оценки по методу наименьших квадратов – свойство ортогональности , согласно которому ошибка предсказания  не коррелирована  со всеми предшествующими данными:

    (3.35)

Умножив уравнение (3.34) на  и, определив  математическое ожидание, получим:         

           (3.36)

Полагая  можно переписать уравнение (3.36)  в матричной форме:

            (3.37)

Сравнив с (3.32), сразу придем к выводу о том, что  Другими словами, для стационарных входных данных РНК – адаптивный фильтр будет сходиться к линейному фильтру – предиктору на основе метода наименьших квадратов с упреждением на один такт (этот фильтр иногда называют фильтром Винера: он более подробно рассмотрен в гл. 2).

Отметим, что выше мы обсуждали случай, когда . По существу, для сходимости коэффициентов фильтра необходимо, чтобы они зависели от бесконечного количества выборок данных. В следующем разделе будут сделаны некоторые выводы, касающиеся случая конечной памяти: .