3.4 Адаптивные фильтры с конечной импульсной характеристикой   и линейными фазовыми характеристиками

Важным классом фильтров, обычно применяемых при цифровой обработке сигналов, является класс фильтров с конечной (ограниченной) импульсной характеристикой и линейными фазовыми характеристиками  (линейно-фазовый фильтр). Подобные фильтры важны в тех применениях, где вредной является частотная дисперсия, возникающая из-за нелинейной фазовой характеристики (например,  при обработке речи и передаче данных). В полосе пропускания линейно-фазовых фильтров сигналы на выходе фильтра воспроизводились бы точно, если бы не задержка, определяемая по наклону кривой зависимости фазы от частоты.

Существует обширная литература по расчету линейно-фазовых фильтров с заданной передаточной функцией, причем разработаны различные эффективные расчетные алгоритмы [247, 265]. В большей части работ, однако, рассматривается неадаптивная обработка, т. е. рассчитывается фильтр с известной передаточной функцией (или импульсной характеристикой).

Представляется, что сравнительно мало работ выполнено по адаптивным линейно-фазовым фильтрам, характеристики которых определяются на основании наблюдаемого временного ряда, а не априорных требований.

Линейно-фазовый фильтр КИХ – типа характеризуется симметричной импульсной характеристикой. Рассмотрим обобщенный фильтр КИХ – типа, определенный в соответствии с (3.1). Фильтр будет линейно-фазовый, если

           (3.109)

где

                 (3.110)

В дальнейшем, для простоты, будем полагать  (т. е. - нечетное число). Тогда выходной сигнал фильтра можно записать в виде:

            (3.111)

Структура такого фильтра изображена на рис. 3.8. Как и ранее, определим вектор коэффициентов  и обозначим соответствующий выходной сигнал . Оптимальный (имеющий наименьший квадрат) вектор коэффициентов обозначим , а соответствующий выходной сигнал . Нам необходимо рассчитать адаптивный фильтр, который будет минимизировать выходную сумму квадратов или дисперсию на выходе.

Рис. 3.8. Линейно-фазовый фильтр КИХ – типа, особенностью которого является симметричная импульсная характеристика. 

Будем рассматривать этот фильтр в три этапа. Сначала выведем уравнения для оптимальных коэффициентов фильтра для случая, когда известна ковариационная матрица данных. Затем обсудим случай, когда известен только входной сигнал, а не его статистические характеристики. И, наконец, представим рекурсивные уравнения корректировки коэффициентов фильтра для алгоритма РНК и для алгоритма МНК.