3.4.1. Стохастический случай

Вновь напомним свойство ортогональности устройства оценки по методу наименьших квадратов, согласно которому , для всех . Умножив справа (3.111) на  и взяв математическое ожидание, получим:

     (3.112)

 

Это уравнение можно переписать в матричной форме (для ):

            (3.113)   

Таким образом,

                 (3.114)

Этот результат можно получить и другим способом – нужно определить новый набор переменных:

         (3.115)

Используя их, можно записать:

          (3.116)

где

            (3.117)

Сравнивая с решением, полученным методом наименьших квадратов (см. разд. 3.2), очевидно, будем иметь: 

     (3.118)

Несложно проверить, что

           (3.119)

       (3.120)

откуда вытекает (3.114). Для вывода адаптивного алгоритма очень полезно привести эту задачу фильтрации с наложенными ограничениями к обычной задаче фильтрации (без наложенных ограничений) для процесса . Отметим, что ковариационная матрица нестационарная, даже если исходный процесс был стационарным.

Выходную дисперсию оптимального линейно-фазового фильтра можно рассчитать по формуле (3.47):

 (3.121)  

Сигнал на выходе линейно-фазового фильтра с произвольным набором коэффициентов определяется выражением [см. (3.46)]  

         (3.122)

это следует из наблюдения [см. (3.44)], согласно которому

                    (3.123)

и не коррелированно с прошлыми данными [ т. е. ]. Выражение (3.122) вновь подтверждает, что выходная дисперсия будет минимизирована при . Как можно заметить,  - симметричная положительно определенная матрица. Ее положительная определенность следует из того факта, что - ковариационная матрица .