4.3.2. Гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр

В 1976 г. Ландау [182] ввел способ, в котором для нахождения оценок параметров в АРСС – устройствах используется несмещенная выходная ошибка, и, который является гиперустойчивым идентификатором ошибки на выходе. Исходя из этого, в работе [164] был разработан алгоритм БИХ – адаптивной фильтрации, основанный на таком гиперустойчивом идентификаторе выходной ошибки. Данный метод, т. е. гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр (ГАРФ), включает две модификации алгоритма Ландау и приспосабливает их для обработки сигналов.

Во-первых, метод Ландау требует уменьшить адаптационные коэффициенты усиления, в конце концов, сходящиеся к нулю. При идентификации устройства с постоянными параметрами подобный алгоритм приемлем; однако, было обнаружено, что в большинстве задач адаптивной фильтрации должна продолжать адаптация для отслеживания изменений тракта распространения сигнала [341].

Во-вторых, гиперустойчивый идентификатор не является строго причинным, поскольку в нем значения текущей выборки выходного сигнала используются для формирования текущих значений параметров и . И снова, в то время как это условие является приемлемым для оценивания параметров, для фильтрации в реальном масштабе времени оно нежелательно.

ГАРФ – алгоритм представляет собой первый метод, который предложен для БИХ – адаптивной фильтрации, и для которого получены доказательства сходимости. Несмотря на умеренную вычислительную сложность, для его детального изучения должны быть введены некоторые упрощения, сохраняющие желаемые свойства ГАРФ, но уменьшающие необходимые вычисления.

Гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр, показанный на рис. 4.4., будет использован при последующем обсуждении.

Рис. 4.4. Реализация гиперустойчивого адаптивного рекурсивного фильтра. (Из работы [185] .)

Из рис. 4.4. видно, что кроме основного адаптивного фильтра, который формирует выходной сигнал , имеется вспомогательный генерируемый сигнал:

(4.20)

Этот АРСС – сигнал используется как для формирования выходного сигнала

(4.21)

так и частично участвует в адаптивном алгоритме. Параметры уравнений (4.20) и (4.21) разделены во времени одним периодом дискретизации, т. е. весовые коэффициенты, используемые в (4.20), по сравнению с (4.21) подверглись одной дополнительной корректировке. Если сходимость будет иметь место, и , а асимптотически стремится к . Однако, на промежуточных этапах адаптации можно доказать неизбежность отличия от .

Предположим, что в момент прихода каждой выборки сигнала коэффициенты адаптивного фильтра корректируются в соответствии с формулами:

(4.22а)

(4.22б)

где - нормирующий коэффициент, больший единицы, т. е.

(4.23)

а и - произвольные положительные константы. Кроме того, - константы выбираются разработчиком так, чтобы дискретная передаточная функция

(4.24)

была строго положительным действительным (СПД) числом [143]. То, что подразумевается под этим требованием, обсуждается в разд. 4.3.3.

При упомянутых условиях можно доказать [164], что величина скользящего среднего

(4.25)

сходится к нулю, в результате чего

(4.26)

т. е. выходной сигнал сходится к последовательности, которая является искомой рабочей характеристикой.

Прежде чем продолжать обсуждение о необходимости СПД допущения для этого гиперустойчивого фильтра, кратко рассмотрим эвристическое описание ГАРФ – корректирующего алгоритма. Из (4.22) можно видеть, что, за исключением подобранных положительных масштабных множителей, для каждого коэффициента корректировка сводится, в основном, к произведению двух величин. Первая – это величина сигнала, соответствующая заданному весу в выходном уравнении (4.21). Например, корректировка зависит от , и их произведение появляется в (4.21). Вторая величина [стоящая в скобках в (4.22)] зависит от мгновенного значения рабочей характеристики фильтра, содержащегося в выражении для скользящего среднего. Следовательно, для получения заданного качества рабочей характеристики наиболее сильно должны регулироваться коэффициенты, дающие максимальный вклад в выходной сигнал, определяемый формулой (4.21). Эти особенности свойственны семейству адаптивных алгоритмов. Читатели увидят сходство этих адаптивных алгоритмов с градиентными адаптивными алгоритмами. Однако, как отмечалось, сложность БИХ – структуры приводит к специфическим различиям, которые в настоящее время нельзя учесть с помощью метода убывания градиента.