4.3. Методы, основанные на теории нелинейной устойчивости

4.3.1. Постановка задачи

Рассмотрим менее общую. Но более структурированную задачу. Пусть ограниченный авторегрессивный процесс следующим образом скользящим средним АРСС, определяемый , описывается величиной 

          (4.16)

где генерируемые параметры и  - постоянные. Допустим далее, что количество переменных адаптивного фильтра является достаточным для перекрытия пространства параметров, на котором определяется  (т. е. ). Без потери общности будем считать,  что , а любые дополнительные генерируемые параметры равны нулю. Запишем выражение для ошибки  в виде:

         (4.17)

Для минимизации достаточно выбрать . Тогда

                (4.18)

и, вследствие ограниченной по входу и ограниченной по выходу устойчивости (4.16), имеем:

      (4.19)

Если только устойчивое состояние достигается, то этот выбор параметров, как и следовало ожидать, обеспечивает минимальную квадратичную ошибку.

Поставленная таким образом задача расчета фильтра представляет собой переформулировку задачи идентификации выходной ошибки (см. рис. 4.2). В этом случае неизвестное АРСС - устройство имеет на входе сигнал  , а на выходе – сигнал , возможно, оцениваемый в присутствии шума. Желательно дать несмещенную оценку или идентифицировать его внутренние параметры  и  . Это можно сделать с помощью использования параллельной модели [181], у которой такой же сигнал на входе, а на выходе  - сигнал ; последний сравнивается с сигналом  на выходе устройства. Оценки параметров производятся на основании выходной ошибки. Однако имеется существенное отличие : в задаче идентификации мера рабочей характеристики, основанная на ошибке, используется лишь в качестве средства для достижения малой параметрической ошибки; в задаче фильтрации малая выходная ошибка является искомым результатом. В некоторых случаях фильтр может допускать значительную параметрическую ошибку и, тем не менее, работать удовлетворительно.