4.3.4. Простой гиперустойчивый рекурсивный фильтр

В то время как из постановки задачи гиперустойчивости адаптивной БИХ- фильтрации видна полезная перспектива, результирующий ГАРФ – алгоритм имеет недостаток – наличие двух существенных источников повышения вычислительной сложности. Во-первых, анализ (4.22) показывает, что дополнительный АРСС – процесс, описываемый , требуется для расчета не только выходного сигнала фильтра, но и для корректировки весовых коэффициентов. Во-вторых, ГАРФ – алгоритм содержит нормированный масштабный коэффициент , рассчитываемый для каждой итерации. Обе эти составляющие алгоритма существенно увеличивают затраты труда на вычисления с точки зрения аппаратной реализации и/или быстродействия.

Чтобы сделать алгоритм БИХ – адаптивной фильтрации более приемлемым для обработки сигналов в реальном масштабе времени, нужно провести в этом алгоритме некоторые разумные упрощения. Если установить константы скорости и достаточно малыми, как в эффективных способах градиентной аппроксимации [250], то весовые коэффициенты от итерации изменятся очень незначительно; следовательно,

и (4.41)

Сравнивая (4.20) и (4.21), имеем

. (4.42)

Уравнение для выходного сигнала (4.21) принимает вид

(4.43)

а со скользящим средним значением, описываемым уравнением (4.25), определяется выражением:

(4.44)

Т. е. просто становится скользящим средним значением выходной ошибки. Окончательно отметим, что в (4.23) – простой нормирующий коэффициент, который регулирует мгновенную скорость адаптации, уменьшая эффективный размер шага для больших значений входного и выходного сигнала фильтра. И снова, полагая и достаточно малыми, получаем

Воспользовавшись этими приближениями, преобразуем (4.22) к следующему виду:

(4.45а)

(4.45б)

Система уравнений (4.43) – (4.45) определяет упрощенный гиперустойчивый адаптивный рекурсивный фильтр (УГАРФ) [185, 301] .

Отметим, что достигнуто значительное сокращение объемов вычислений и памяти; для корректировки каждого весового коэффициента требуется лишь знать сглаженный процесс выходной ошибки . Это облегчение расчетов обеспечивается за счет того, что не требуется строго выполнять условие гиперустойчивости (4.31), так что для произвольных положительных и сходимость больше не гарантируется. Однако для практических целей медленная адаптация поддерживает аппроксимацию, близкую к гиперустойчивой структуре.

Интересно отметить, что некоторые ранние попытки реализации адаптивной БИХ – фильтрации, особенно алгоритм Фейнтуха [96], очевидно, являются частными случаями (4.45).

Уравнения корректировки, полученные в этих работах экстраполяцией аналогичных уравнений, используемых в адаптивной КИХ – фильтрации, таковы:

(4.46а)

(4.46б)

где

(4.47)

Отметим, что это эквивалентно ограничению при , меняющемся от 1 до в (4.44), т. е.

(4.48)

В соответствии с анализом гиперустойчивости сходимость обеспечивается только в том случае, если и малы, а авторегрессивная функция

(4.49)

обладает СПД – свойством. Как показано в разд. 4.3.3, чтобы удовлетворить СПД – условию, требуется, вообще говоря, специальное расположение нулей.

Для демонстрации поведения УГАРФ представлен ряд реализаций, полученных с помощью моделирования. Искомый процесс является процессом второго порядка, полученным путем пропускания белого шума через фильтр со следующей характеристикой:

(4.50)

Миграция двух полюсов адаптивного фильтра показана на рис. 4.9, начиная с мнимых полюсов , сходящихся к полюсам функции (4.50), т. е. к . Демонстрируется влияние изменения на траекторию полюсов одного из сглаживающих коэффициентов (от до ). Разумеется, миграция полюсов приводит к сложному преобразованию геометрического места точек адаптивных весов и, в силу этого, дает искаженное представление о поведении фильтра. Однако (на качественном уровне) можно видеть, что измерение сглаживающего параметра не только уменьшает кривизну, но и ускоряет сходимость. Это частично происходит благодаря влиянию, которое сглаживание оказывает на интенсивность процесса ошибки , что в свою очередь уменьшает среднюю величину членов алгоритма корректировки в (4.45).

Стоит отметить, что в данном примере, несмотря на жесткость СПД – требования при , сходимость все еще имеет место, т. е. достаточное условие является чрезмерно сильным.

Рассмотрим второй случай, включающий процесс второго порядка:

(4.51)

он генерируется фильтром, имеющим пару действительных полюсов в точке с координатой 0,85. В данном случае УГАРФ – алгоритм моделировался при и ; первый случай не удовлетворяет СПД- требованию, тогда как второй – удовлетворяет. Во избежание неопределенности при расчете скорости сходимости, начальное положение полюсов адаптивного фильтра выбиралось равным 0,845, на расстоянии 0,005 от истинного расположения. Несмотря на близость параметров, для [т. е. для алгоритма Фейнтуха (в данном не положительном действительном случае)] весовые коэффициенты быстро подстраиваются к альтернативной конфигурации, включая единственный низкочастотный полюс, эффективно исключающий вторую степень свободы. Во втором случае сходимость связана с несмещенными оценками полюсов (см. рис. 4.10).

а б

в г

Рис. 4.9 Траектории полюсов, полученные при моделировании алгоритма упрощенного гиперустойчивого адаптивного рекурсивного фильтра: , 160 К итераций (а);
, 160 К итераций (б); 120 К итераций (в); , 40 К итераций (г). (Из работы [185].)

а б

Рис. 4.10. Траектории полюсов для рекурсивных МНК – и УГАРФ – алгоритмов: рекурсивный МНК () (а); УГАРФ (, ) (б). (Из работы [185].)