4.4. Анализ сходимости

4.4.1. Цели анализа сходимости

Если найден алгоритм адаптивной фильтрации, возникает необходимость проанализировать его свойства сходимости, чтобы можно было всесторонне оценить его полезность. Такой анализ сходимости выполнен; при этом имелось в виду три взаимосвязанные цели:

1. Доказать, что адаптивный процесс действительно сходится, как это желательно, к  соответствующему состоянию.

2. Оценить свойства процесса сходимости, например время сходимости.

3. Представить некоторую (по возможности простую) модель поведения действительного процесса сходимости.

Хотя эти цели кажутся очень простыми, они сильно усложняются, когда вводится реальная рабочая характеристика или критерий сходимости. Наибольшее различие между входными процессами, описываемыми  и , возникает в том случае, если мы принимаем допущение, согласно которому рассматриваем эти процессы как стохастические и детерминированные.

По крайней мере, одна из следующих двух причин заставляет применять анализ стохастической сходимости. Первый – является присутствие шума в любой используемой линии передачи сигналов. Он называется шумом наблюдения, или внутренним шумом, зависящим от места системы, где он возникает. Шум обычно стимулирует проведение стохастического анализа просто потому, что составляющие шума, как правило, наиболее изящно описываются в рамках стохастических процессов. В результате, анализ сходимости обычно выполняется в терминах стохастических процессов. Вторая причина использования данного подхода вызвана необходимостью проанализировать спектральный диапазон. Это типично для применения адаптивной фильтрации, где можно воспользоваться основополагающей работой Винера по фильтрации. В самом деле, эта работа столь удачна, что представления в терминах вырожденных стохастических процессов часто применяются и для процессов, для которых можно было бы использовать детерминированное описание (например, синусоиду). Результаты стохастического анализа получают в определенной последовательности; как правило, легче всего доказывается факт сходимости в среднем, затем сходимости в среднеквадратичном и, наконец, сходимости с вероятностью 1.  Переход от одного уровня сходимости к следующему обычно требует увеличения объема сведений о статистике процессов, начиная с информации о среднем и ковариации и кончая многомерными распределениями вероятности.

Этот факт объясняет ограниченность иерархической прогрессии большинства доказательств сходимости адаптивной фильтрации. Однако, поскольку для большинства входных процессов известен спектр (и, следовательно, их ковариационные свойства) и не так часто известно распределение вероятности, факт сходимости обычно доказывается в среднеквадратичном. В действительности, при нестационарных условиях распространения сигнала доказательство сходимости может прекратиться раньше.

В тех областях применения, где спектральное описание не является основным и где шум представляет эффект второго порядка, большая часть анализа сходимости сосредотачивается на «детерминированных» приближениях. Здесь входные сигналы моделируются совершенно произвольными, но ограниченными сигналами, и цель состоит в том, чтобы показать без каких-либо условий, что адаптивный процесс сходится к искомому состоянию. Как будет продемонстрировано, эти способы, в основном, сводятся к доказательству того, что адаптивный процесс является в некотором смысле пассивным, т. е. соответствующим образом определенная ошибка системы уменьшается до нуля, подобно напряжению в пассивной цепи. Очевидно, полученный результат гораздо значительнее, чем тот, который указывает на сходимость ошибки в среднеквадратичном. Раньше за это приходилось расплачиваться трудностью распространения сферы применения подобных доказательств для достаточно изящного учета влияния шума канала или приемника. Еще одним важным соображением, как будет показано в следующем разделе, является то, что хотя детерминированные методы позволяют доказать сам «факт сходимости», из них часто трудно получить информацию о характере сходимости (например, о скорости сходимости).

В свете этих особенностей, проанализируем теперь ограниченное количество имеющихся в нашем распоряжении работ, касающихся сходимости адаптивных фильтров БИХ – типа.