4.4.2. ПриближенияАнализ МСКО – методов. Как ранее обсуждалось в данной главе, в большинстве БИХ – адаптивных алгоритмов попытка минимизации среднеквадратичной ошибки выполняется путем аппроксимации градиента рабочей функции и организации итеративного шагового процесса в указанном направлении до достижения стационарной точки. В свете этого, большинство имеющихся анализов, связанных с БИХ – адаптивными алгоритмами, основанными на МСКО – критерии, сосредотачивается на изучении свойств поверхности рабочей характеристики МСКО. Несмотря на значительное число работ [70, 294], до сих пор нет ответа даже на основной вопрос: при каких условиях рабочая МСКО – функция К сожалению, Стерис [294] смог показать унимодальность лишь для некоторых случаев, а именно, для систем с широкополосными входными сигналами и более чем достаточным количеством коэффициентов для адекватного моделирования искомого сигнала Не давая ответа на основной вопрос, другие работы, например, по скорости сходимости, не имели серьезных целей, кроме машинного моделирования. Полезность данного направления анализа еще значительнее ограничивается тем фактом, что, в сущности, каждый адаптивный алгоритм, рассмотренный в разд. 4.4, аппроксимирует лишь истинный градиент МСКО – рабочей характеристики функции. Например, показано, что алгоритм Фейнтуха, при некоторых условиях, не только не следует градиенту, но и не сходится к стационарной точке [162]. В результате этих аналитических трудностей в настоящее время выполняется мало исследований по свойствам сходимости алгоритмов, основанных на МСКО, даже, несмотря на то, что методы, рассмотренные в следующем разделе, могут дать полезные результаты. Модели алгоритмов. Исторически, анализ сходимости адаптивных цифровых фильтров КИХ – типа выполнялся с помощью аппроксимации рекурсивного выражения для коэффициентов фильтра линейным векторным инвариантным во времени выражением первого порядка, которое затем можно было проанализировать, чтобы найти постоянные времени, связанные с уменьшением различных составляющих ошибки фильтра [341]. Этот способ, в принципе, очень эффективен для фильтров КИХ – типа в стационарных условиях распространения сигнала, поскольку адаптация параметров фильтра не меняет информации в линии задержки фильтра. Однако, для фильтров БИХ – типа последнее явно неверно, поскольку на ковариацию Мы кратко рассмотрим три возрастающих по сложности способа изучения поведения сходимости. Для демонстрации этих способов использован УГАРФ – алгоритм. 1. Локальная линеаризация вблизи стационарной точки. В данном приближении проводится линеаризация поведения сходимости внутри малой окрестности стационарной точки процесса адаптации. Это приближение мотивировано аналогичной линеаризацией, применяемой в способах итеративной численной оптимизации [204]. Напомним вектор коэффициентов и рассмотрим основное или выразить через параметрическую ошибку Матрица Задавая начальные значения параметров в малой окрестности Такая интерпретация не является оригинальной, поскольку она часто применяется для описания локального поведения большого класса функций, используемых в итеративной оптимизации. Незначительная разница заключается в том, что для УГАРФ матрица Для изучения поведения, предсказываемого с помощью данного приближения, рассмотрим простой случай УГАРФ первого порядка, которому отвечают выражения (4.43) – (4.45), приведенные, соответственно к виду:
Допустив, что входное возмущение представляет собой последовательность выборок белого шума с нулевым средним, а где Преобразовав (4.58), получим (т. е. Из (4.59) можно сделать два вывода: а. В данном случае ошибка вектора параметров геометрически сводится к нулю, в соответствии с характеристическими числами б. Если коэффициент
2. Рекуррентный метод с изменяющимися во времени параметрами. В то же время, как линеаризация характеристики алгоритма в окрестности стационарной точки может дать ценные результаты по асимптотической сходимости, такое приближение не допускает использования произвольных (т. е. не локальных) начальных условий для коэффициентов фильтра. Такие произвольные начальные условия можно допустить, если для комплексного вектора с переменными параметрами, с помощью которого можно проанализировать характер сходимости алгоритма, принять выражение: Матрица
где Поскольку выражение (4.61) имеет ту же форму, что и (4.60), им можно воспользоваться для предсказания скорости УГАРФ – сходимости вблизи любой заданной рабочей точки, включая точки, определяющие начальные и конечные условия. С помощью этого выражения было показано, что при соответствующем выборе сглаживающего фильтра (и, следовательно,
3. ОДУ-метод. Леннарт Льюинг [195, 196] разработал метод доказательства сходимости и определения скорости сходимости. Это приближение, называемое методом обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), непосредственно применимо лишь для алгоритмов, в которых используется матрица с переменными параметрами и уменьшающимся усилением Как указывает Льюинг, уравнение (4.62) можно применять для достижения многих из ранее поставленных целей. Доказательство сходимости алгоритма сводится к демонстрации устойчивости (4.62), зависящей от свойств функции В то время как уменьшающиеся коэффициенты усиления алгоритма адаптации обычно встречаются в задачах идентификации систем, их, как правило, не используют в работах по адаптивной фильтрации, поскольку чаще применяют волновые сигналы, которые в лучшем случае являются лишь квазистационарными. Из-за отсутствия стационарности необходимо, чтобы адаптивный фильтр всегда был «включен» для отслеживания изменения характеристик сигнала. В ОДУ – методе требуется убывание коэффициентов усиления, и, следовательно, он широко не применяется для анализа адаптивных фильтров КИХ – и БИХ – типов. Метод Ляпунова. Только что обсужденные стохастические методы позволяют получить большой объем информации о поведении алгоритмов, но обычно эта информация носит характер лишь «средней» и / или локальной. Другой подход к доказательствам сходимости основан на понятии пассивности, т. е. показано, что комбинированные системы и адаптивные процессы являются в некотором смысле пассивными по отношению к ошибкам системы. Эта пассивность предполагает, что со временем ошибка уменьшается до нуля, и, следовательно, алгоритм сходится. Здесь мы рассматриваем анализ функции Ляпунова. По сравнению со стохастическими методами, такой анализ, как правило, дает гораздо более определенное доказательство сходимости, но меньше данных о характере сходимости (например, о скорости сходимости). Анализ функций Ляпунова [78] основан на нахождении функции Поскольку функция Эта идея применяется при анализе сходимости путем разработки положительной функции для всех ошибок, возникающих в адаптивном процессоре. Если можно показать, что первая разность строго отрицательна, то, в соответствии со второй теоремой Ляпунова, ошибка должна стремиться к нулю, а это и доказывает сходимость адаптивного алгоритма. Как кажется на первый взгляд, этот метод удовлетворяет многим заданным целям, так как эволюция 1. Найти функцию Ляпунова 2. «Ошибка», используемая в функции Ляпунова, часто содержит «посторонние» члены, которые обязательны для доказательства сходимости, но маскируют смысл Доказательство сходимости типа Ляпунова не было найдено ни для одного из градиентных алгоритмов МСКО, рассмотренных в разд. 4.4, но Джонсон и др. [165] , успешно основываясь на ранней работе по контролю и идентификации текста, разработали функции Ляпунова для ГАРФ – и УГАРФ – алгоритмов. Из их работы следует, что УГАРФ – сходимость можно гарантировать при разумных обстоятельствах (малых
|