5. ОЦЕНИВАНИЕ РЕКУРСИВНЫМ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И РЕШЕТЧАТЫЕ ФИЛЬТРЫ

Джон М. Тернер

5.1.Введение

Решетчатую структуру фильтра можно использовать как альтернативный способ реализации передаточной функции цифрового фильтра. Хотя решетчатая структура фильтра (называемая также многозвенной структурой или структурой лестничного типа) не обладает минимальным числом умножителей и сумматоров для выполнения передаточной функции, она обладает рядом преимуществ. К ним относятся следующие: каскадирование идентичных секций; коэффициенты, величины которых не превышают 1; проверка признаков устойчивости и хорошие количественные характеристики округления. Более того, решетчатая структура фильтра особенно подходит для адаптивной фильтрации, поскольку рекурсивное решение, даваемое устройствами оценки по методу наименьших квадратов, естественно приводят к решетчатой структуре фильтра. Кроме того, решетчатая структура фильтра на каскадной основе ортогонализует  входной сигнал. Это приводит к очень быстрой сходимости и хорошим характеристикам решетчатой структуры в режиме слежения. Хотя разработано много альтернативных методов оценивания коэффициентов отражения, которые позволяют оценивать параметры решетчатой структуры, рекурсивный метод  наименьших квадратов корректирует минимальную квадратичную оценку при обработке каждой выборки данных. Эта процедура приводит к оптимальной оценке и требует лишь незначительно большего объема вычислений, чем альтернативные методы.

В настоящей главе дан вывод решетчатого фильтра на основе рекурсивного метода наименьших квадратов, в котором используется рекурсивное обобщение стандартного решения, полученного Левинсоном методом наименьших квадратов для стандартных блоков данных. Представленный здесь линейный предиктор1) широко применялся для синтеза речевых сигналов, обработки данных сейсморазведки, оценивания спектра с высоким разрешением, адаптивного линейного усиления, адаптивного подавления шума и адаптивной обработки сигналов с антенной решетки. Идеи, заложенные в основу этого метода оценивания, вытекают из работ многих авторов, выполненных после 1970 г. Приведенное здесь приближение следует из работы Ли [188]. Рекурсивные алгоритмы, отвечающие критерию наименьших квадратов, в гл. 3 были рассмотрены для фильтров на линиях задержки с отводами.  Обсуждение показывает, что применение решетчатых фильтров для оценивания рекурсивным методом наименьших квадратов вполне естественно.

Методы адаптивного оценивания модифицирует коэффициенты оценивающего фильтра, в соответствии с вновь поступающими выборками данных. Для каждой новой выборки данных рекурсивный  метод оценивания с помощью решетчатого фильтра дает новые коэффициенты отражения и ошибки предсказания для каждого порядка фильтра. Изменение каждого коэффициента фильтра для каждой новой выборки данных является важным в тех областях применения, где требуется быстрая сходимость или отслеживание быстро изменяющихся во времени сигналов. Однако для областей применения с медленной динамикой важны лишь результаты после наблюдения сигнала в течение некоторого периода времени. Описанные здесь рекурсивные алгоритмы можно также использовать для изучения свойств сигнала в течение определенного периода времени. В разд. 5.2 приведена процедура преобразования коэффициентов решетчатого фильтра в коэффициенты более общего эквивалентного фильтра на линии задержки с отводами.

Оценивание с помощью рекурсивного метода наименьших квадратов можно описать математически; для этого потребуется корректировка переменных с индексами времени и порядка.

Алгоритмы такого процесса часто сложны. Поэтому, в разд. 5.3 приведены качественные рассуждения, которые объясняют природу решетчатой структуры фильтра, свойства каскадной ортогонализации и аналогию с физическими явлениями. В разд. 5.4 кратко представлены методы аппроксимации для определения коэффициентов отражения по наблюдаемым данным. Преимущество решетчатой структуры фильтра состоит в том, что она позволяет эффективно рассчитать точные решения для метода наименьших квадратов, которые являются рекурсивными во времени. В разд. 5.5 и 5.6 для решетчатых фильтров описана разработка алгоритма оценивания рекурсивным методом наименьших квадратов. В разд. 5.7 для них же дан среднеквадратичный нормированный алгоритм оценивания методом наименьших квадратов, обладающий лучшими количественными характеристиками.

В разд. 5.8 обсуждается сложность вычислений по этим алгоритмам. Представлен эффективный способ реализации алгоритма рекурсивного метода наименьших квадратов, использующей ротационную арифметику. Эта ротационная арифметика, называемая CORDIC- арифметикой, не нова, поскольку она уже применялась в микрокалькуляторах для вычисления тригонометрических функций. Кратко описывается разработка кристалла интегральной микросхемы, реализующей для решетчатых фильтров алгоритм метода наименьших квадратов  с использованием  CORDIC- арифметики. Далее в гл. 7 дан пример аппаратной реализации градиентной решетки.

В разд. 5.9 для демонстрации возможностей адаптивного устройства оценки представлены примеры моделирования сходимости и режима слежения, использования реальных речевых и электрофизиологических сигналов и адаптивных корректирующих фильтров. Поскольку оценивание рекурсивным методом наименьших квадратов  и решетчатые структуры фильтров были областью очень активных исследований, в разд. 5.10 кратко рассмотрено развитие основных концепций.

Так как выведенные здесь уравнения являются рекурсивными относительно порядка и времени, то используется следующая система обозначений. Переменная является общим обозначением дискретизированных во времени данных, а   - конкретная выборка данных,  спустя  периодов дискретизации после начала оценивания рекурсивным методом (относительно время ). Переменные, обозначаемые жирными прописными буквами, представляют собой матрицы или векторы. Когда используются два индекса, первый обозначает порядок, а второй – временнóй параметр (т. е.  - вектор коэффициентов предиктора -го порядка, определенный из данных, поступивших вплоть до конкретного времени ).