5.2 Общая структура цифрового решетчатого фильтра

Обычный цифровой решетчатый фильтр служит для реализации передаточной функции цифрового фильтра. Сама по себе решетчатая структура возникла по аналогии с подобными структурами аналоговых фильтров, обладающих рядом достоинств. В данном разделе вводится цифровой фильтр и рассматривается его связь с цифровым фильтром прямой формы на линии задержки с отводами.

Поскольку аналоговые решетчатые и многозвенные фильтры обладают нужными характеристиками, были исследованы цифровые фильтры с аналогичными структурами. Например, - фильтр Баттерворта третьего порядка, показанный на рис. 5.1, а, имеет структуру простого аналогового решетчатого фильтра. Он упоминается вследствие того, что его частотная характеристика сравнительно нечувствительна к незначительным отклонениям значений элементов схемы от их номинальных значений. Эту структуру можно преобразовать в обобщенную решетчатую схему, показанную на рис. 5.1, б.

Последняя и является решетчатой структурой, рассматриваемой в данной главе. Аналоговая решетчатая структура состоит из последовательности идентичных звеньев, причем у каждого звена имеется пара входных и выходных полюсов. За счет разработки конфигурации цифрового фильтра, подобной аналоговой решетчатой структуре, он приобретает многие свойства, тождественные свойствам аналогового фильтра. Поскольку от реализуемой структуры цифрового фильтра зависит его чувствительность по отношению к длине слова, обрабатываемого арифметическим устройством, решетчатый цифровой фильтр может иметь хорошие вычислительные свойства.

Рис. 5.1. - аналог многозвенного фильтра третьего порядка (а); обобщенная схема расчета импеданса решетчатого фильтра (б).

Подобно аналоговым структурам цифровые решетчатые фильтры состоят из последовательно включенных звеньев с двумя входными и выходными парами полюсов. Возможны два варианта цифровых решетчатых конфигураций для реализации общей цифровой передаточной функции: асимметричная форма на базе одного умножителя (рис. 5.2) и симметричная форма на базе двух умножителей (рис. 5.3). В случае асимметричной решетчатой формы на базе одного умножителя структура каждого звена реализует эквивалентную передаточную функцию с единственным полюсом и нулем. Алгоритм асимметричного фильтра на базе одного умножителя (см. рис. 5.2) можно найти в работе [229].

Рис. 5.2 Цифровой асимметричный решетчатый фильтр, передаточная функция которого содержит полюсы и нули.

Структура этого фильтра вырождается в линию задержки с отводами как для передаточной функции, имеющей только полюсы, так и для передаточной функции, имеющей только нули, и, следовательно, она для нас не интересна. Структура симметричного фильтра, на базе двух умножителей, не вырождается, но для нее требуется больше умножителей, чем для эквивалентного фильтра на линии задержки с отводами. Этот решетчатый фильтр можно преобразовать в фильтр на базе одного умножителя, чтобы иметь минимальное число умножителей, но для этого потребуются дополнительные сумматоры [рис. 5.3, б].

Рис. 5.3 Цифровой симметричный решетчатый фильтр с двумя умножителями, передаточная функция которого содержит полюсы и нули (а); цифровой симметричный решетчатый фильтр с одним умножителем, передаточная функция которого содержит полюсы и нули (б).

Цепочка решетчатых звеньев, образующих решетчатый фильтр, может реализовать цифровую передаточную функцию, причем так, что будут получены преимущества по сравнению с реализациями в виде стандартной прямой формы, параллельной или стандартной каскадной формы.

Каскадная структура решетчатого фильтра пропускает прямой сигнал и обратный сигнал во время через секцию с номером . Запишем основное уравнение, описывающее структуру решетчатого фильтра (см. рис. 5.4):

(5.1)

Умножители в поперечных ветвях решетки называют коэффициентами отражения или коэффициентами частной корреляции (PARCOR – коэффициентами).

Выполнение передаточных функций цифровых фильтров с помощью решетчатой структуры изучалось в работах [131, 132]. Были также установлены канонические формы пространства состояний [188, 233, 234]. Алгоритм (5.1) определяет коэффициенты отражения и коэффициенты передачи ветвей для решетчатого фильтра, который изображен на рис. 5.3 и эквивалентен (при заданной устойчивости) передаточной функции прямой формы с коэффициентами числителя и коэффициентами знаменателя (из работы [131]). В структуре на базе одного умножителя, показанной на рис. 5.3, б, используются коэффициенты . Хотя решетчатые коэффициенты и коэффициенты прямой формы связаны между собой нелинейным образом, данный алгоритм является обратимым, так что решетчатую структуру можно однозначно преобразовать в фильтр прямой формы, и наоборот (когда все корни расположены внутри единичного круга).

Алгоритм 5.1. Переход передаточной функции общего вида к передаточной функции решетчатого фильтра.

Хотя рис. 5.3 и алгоритм 5.1 описывают решетчатый фильтр для случая передаточной функции общего вида с полюсами и нулями, в остальной части данной главы мы будем обсуждать передаточные функции, имеющие только полюсы, и передаточные функции, имеющие только нули.

Рис. 5.4 Решетчатый фильтр с обратной связью, передаточная функция которого содержит одни полюсы.

Рис. 5.5. Решетчатый фильтр с прямой связью, передаточная функция которого содержит одни нули.

Для передаточной функции с одними полюсами решетчатый фильтр, называемый решетчатым фильтром с обратной связью, показан на рис. 5.4. Решетчатый фильтр с обратно связью можно инвертировать, применив, например, к рис. 5.4 правило Мейсона. Полученный фильтр с конечной импульсной характеристикой и передаточной функцией, имеющей только нули, будет представлять собой решетку без обратной связи, т. е. с прямым прохождением сигнала (рис. 5.5). Таким образом, решетчатый фильтр с прямым прохождением сигнала и решетчатый фильтр с обратной связью, имеющие одинаковые коэффициенты, выполняют инверсные операции над входным сигналом. Если сигнал приложен к решетчатому фильтру с прямой связью, а результирующий сигнал – к решетчатому фильтру с обратной связью, то исходный сигнал восстанавливается. В соответствии с правилом Мейсона, коэффициенты отражения определяют параметры как решетчатого фильтра с обратной связью, так и решетчатого фильтра без обратной связи с соответствующим изменением прохождения сигнала. Алгоритм 5.2 дает процедуру преобразования коэффициентов отражения в коэффициенты линии задержки с отводами, когда поток выборок определяет, будет ли передаточная функция иметь только полюсы или только нули.

Алгоритм 5.2. Переход от коэффициентов решетки к коэффициентам линии задержки с отводами.

Чувствительность коэффициентов при решетчатом варианте реализации цифровой передаточной функции общего вида не была изучена так основательно, как для других известных структур фильтров. Для различных решетчатых конфигураций были разработаны правила пересчета [218] и оценки шумовых характеристик [217] для арифметики с конечной длиной слова. Оценочные значения шумовых характеристик для решетчатых фильтров на базе одного умножителя всегда лучше, чем оценочные значения для решетчатых фильтров на базе двух умножителей. Оба решетчатые фильтры гораздо лучше, чем фильтр прямой формы. Решетчатые структуры фильтра имеют лучшие оценочные значения шумовых характеристик, чем другие фильтры, особенно когда ширина полосы пропускания фильтра становится малой. Был разработан нормированный решетчатый фильтр (требующий большего числа умножений), который обеспечивает лучшие характеристики, чем другие решетчатые структуры или фильтр параллельной формы.

Для реализации передаточной функции требуются квантованные коэффициенты. Они влияют на устойчивость фильтра и его инверсного варианта. Чувствительность корней передаточной функции к возмущениям коэффициентов решетчатого фильтра и фильтра на линии задержки с отводами исследовалась в работах [54, 55]. Влияние изменения коэффициентов фильтра на линии задержки с отводами на чувствительность корней передаточной функции было одинаковым для всех коэффициентов. Когда корни близки к единичному кругу, квантование коэффициентов фильтра на линии задержки с отводами ведет к сдвигу корней перпендикулярно единичному кругу. В случае передаточной функции, имеющей только полюсы, это квантование может привести к перемещению полюсов за пределы единичного круга и к неустойчивости передаточной функции. Для решетчатых фильтров влияние изменения коэффициентов низшего порядка на расположение корней значительно сильнее, чем коэффициентов высшего порядка. При изменении коэффициентов отражения корни стремятся перемещаться по касательной к единичному кругу; тем самым центральная частота изменяется в большей степени, чем ширина полосы корней. Коэффициенты отражения низшего порядка, особенно те из них, величины которых близки к единице, следует квантовать тщательнее, чем коэффициенты отражения высших порядков. Никакого простого эмпирического правила не существует для фильтров на линиях задержки с отводами. Эффекты квантования коэффициентов решетчатых фильтров наиболее широко изучались для случаев применения при моделировании речи. Для типичных предсказывающих фильтров, используемых при обработке речи, возможно значительно более грубое квантование коэффициентов отражения, чем коэффициентов фильтра на линии задержки с отводами; при этом субъективно воспринимаемая спектральная характеристика сохраняется.