5.3. Свойства решетчатой структурыРешетчатый фильтр имеет более сложную структуру, и для реализации передаточной функции требуется большее количество численных операций, чем для непосредственной реализации фильтра прямой формы. Однако эта повышенная сложность компенсируется несколькими преимуществами решетчатой структуры, включающими проверку степени устойчивости, каскадную ортогонализацию входного сигнала и физическую интерпретацию в виде распространения волны в слоистой среде. Решетчатая структура фильтра легко получается для предсказывающего фильтра, когда применяются условия ортогональности. В данном разделе представлены свойства решетчатого оценивающего фильтра. В разд. 5.3.2 для демонстрации физической интерпретации коэффициентов отражения в качестве решетчатого фильтра рассматривается модель голосового тракта человека в виде акустической трубы. 5.3.1. Ортогонализирующие свойстваВ ранних работах, посвященных решетчатой структуре, была отмечена связь с ортогональными полиномами [45, 156, 211, 219]. Реализации решетчатых фильтров были получены ортогонализацией пространства состояний передаточной функции с помощью ортогональных полиномов Цего. Теория полиномов Цего и их применение в теории систем (контроле устойчивости) и стохастических задачах (теории прогнозирования и спектральном анализе) обсуждаются в работе [133]. В контроле устойчивости по методу Шура свойства ортогональных полиномов используются для определения того, находятся ли полюса передаточной функции внутри единичного круга и, следовательно, устойчива ли передаточная функция. Чтобы осуществить контроль, сначала применяется алгоритм 5.1 для расчета решетчатого фильтра, а затем проверяется, не превосходит ли единицу величина какого-либо коэффициента отражения Для задач оценивания уравнения оценки по методу минимальной среднеквадратичной ошибки можно преобразовать в уравнения каскадной оптимизации с помощью рекурсивного метода при оптимальном порядке фильтра. Можно провести каскадную оценку параметра рекурсивного метода, поскольку он зависит от величин, ортогональных для разных каскадов. Это ортогонализирующее свойство сейчас исследовано для предсказывающих фильтров (с передаточной функцией, имеющей только нули). Для предиктора Операция Ошибку обратного предсказания Здесь коэффициенты При увеличении порядка предсказания до предсказания
Единственное ограничение, которое непосредственно не удовлетворяется, включает Подставляя (5.3) и (5.4) в (5.5), получаем оптимальное значение для Аналогично найдем результат рекуррентного метода для обратного предиктора: и определим оптимальное значение Для обобщения предсказывающего фильтра на следующий более высокий порядок Дальнейшее изучение свойств ошибок предсказания выполнено в работе [214]. Ошибка обратного предсказания получается путем ортогонализации типа Грамм – Шмидта набора версий сигнала с временной задержкой. Это свойство ортогональных переменных делает решетчатую структуру предпочтительной для адаптивной фильтрации. Кроме того, легко определяется уменьшение энергии сигнала после каждого каскада предсказания. Эту особенность можно использовать для масштабирования ошибок предсказания, с целью сохранения хороших расчетных характеристик алгоритма. Ниже суммируются наиболее важные из рассмотренных свойств:
Когда сигнал Коэффициенты отражения тесно связаны с коэффициентами частной корреляции, обладающими рядом интересных статистических свойств. Функция корреляции между В таких применениях, как подавление шума или коррекция канала связи, ортогонализирующие свойства решетки представляют первоочередной интерес для достижения быстрого слежения или сходимости (см. разд. 5.6). Ошибки обратного предсказывания
|