5.3.2. Физическая интерпретация

Решетчатая структура  и коэффициенты отражения имеют физическую интерпретацию, которая для частных классов сигналов углубляет понимание свойств решетчатой структуры. Моделирование распространения волны в слоистой среде приводит к каскаду решетчатых фильтров.  Эта модель была применена Трейтелом и Робинсоном [304], а также Бургом [44] и другими для обработки сейсмических сигналов. Физические свойства рассеивающей среды приводят к методам инверсии, основанным на каскадных отражающих звеньях: например описание линий передачи (электрических) [127] или голосового тракта человека [126]. Аналогично в области акустики и обработки речи линия акустической передачи со ступенчатыми изменениями импеданса приводит к решетчатой каскадной структуре. Голосовой тракт человека моделировался каскадом секций акустических трубок с различными импедансами. Эта взаимосвязь между физиологической системой и решетчатой структурой придает физический смысл коэффициентам отражения: она привела к разработке систем синтеза речи с использованием решетчатой структуры. В остальной части данного раздела рассматривается преобразование модели голосового тракта в виде акустической трубы в решетчатый фильтр [99, 219, 266].

В работе [176], в качестве модели голосового тракта была рассмотрена линия передачи без потерь в виде каскада акустических трубок, представляющих собой цилиндры различного диаметра, но одинаковой длины. Эта модель голосового тракта изучалась для улучшения понимания механизма речеобразования и синтеза речи с помощью ЭВМ. Звуки речи создаются волнами давления, резонирующими в голосовом тракте (акустических трубок). Смысл этой модели заключается в том, что соединенные в виде каскада цилиндры образуют звенья каскадной решетки. Области поперечных сечений смежных цилиндров определяют отраженную и проходящую компоненты акустической волны, которые можно преобразовать в коэффициенты отражения решетки.

Звуковые волны, распространяющиеся в цилиндрической секции, подчиняются уравнениям сохранения импульса и массы (принимаются обычные условия; см. [266]). Поскольку площадь поперечного сечения - ой трубки является постоянной, сочетание законов сохранения приводит к одномерному волновому уравнению.

В установившемся режиме этому уравнению удовлетворяют объемная скорость  и давление , являющиеся результирующими для волн, движущихся в прямом  и обратном  направлениях:

       (5.13)

где - плотность воздуха, - скорость звука в воздухе, а - площадь поперечного сечения акустической трубы (см. рис. 5.6, а). Если все эти трубки имеют одинаковую длину , то необходимо, чтобы на границе между трубками  и  распространение волны было непрерывным:

Используя граничные условия, можно определить скорость прямой волны  и отраженной волны , на границе:

              (5.14)

Здесь  - время распространения через секцию трубы, а - коэффициент отражения волны на стыке сечений и :

           (5.15)

Поскольку все площади поперечного сечения положительны,  . На рис. 5.6, а и б показано распространение волны при наличии скачка площади поперечного сечения.

Структуру решетчатого фильтра можно получить, нормируя переменные и группируя временные задержки. Модифицируя (5.14), можно представить скорости в - физической секции на границе с - ой секцией через скорости волн в - ой секции:

                

              (5.16)

а.

б.

в.

Рис. 5.6. Распространение волны в акустической трубе, рассматриваемой как решетчатый фильтр:  а – акустическая труба; б – передаточная функция при наличии разрыва между трубками и ; в – эквивалентный решетчатый фильтр.

Привязка к абсолютному времени производится на выходе последней секции трубы, которую физически можно интерпретировать как губы человека. Полагая, что модель голосового тракта имеет  трубчатых секций, для времени задержки от начала - ой трубки до губ получаем ; следовательно, в уравнении для - ой секции переменная времени заменяется на  .  Для объединения   коэффициентов от - ой трубки до последней - ой секции (губы) вводится масштабный коэффициент :

Уравнения для решетчатых фильтров получаются из (5.16) путем введения абсолютного времени и определения новых переменных (см. рис. 5.6, в):

       (5.17)

Это точно такое же уравнение, как составленное раньше из условий ортогональности (5.4) и (5.7), за исключением того, что единичная задержка равна  и решетчатые секции пронумерованы в порядке убывания.

Хотя моделирование полного голосового тракта включает и другие эффекты, которые вызывают голосовые связки (голосовая щель) и форма губ, распространение волны во рту, в идеале, соответствует уравнениям решетчатой структуры. Исследования показали, что форму любого приемлемого голосового тракта можно создать с помощью решетчатого фильтра, и что коэффициенты отражения непосредственно связаны с площадью поперечного сечения голосового тракта [219].

Для других типов сигналов, если они генерируются или если их можно моделировать в виде распространения волны в слоистой среде, интуитивно предпочтительной является модель в виде решетчатой структуры. Физически генерируемые процессы часто бывают нестационарными, но существует предел скорости, с которой может измениться процесс. Форма голосового тракта (за исключением губ) может изменяться лишь с довольно медленной скоростью, определяемой, в основном, мускулами языка. Кроме тех случаев, когда происходит внезапное раскрытие губ, площадь поперечного сечения голосового тракта изменяется медленно и, следовательно, коэффициенты отражения также изменяются медленно. Это медленное изменение во времени можно выгодно использовать в адаптивном оценивании или квантовании параметров.

Можно интуитивно понять смысл величин коэффициентов отражения, так как можно рассматривать решетчатую структуру фильтра как аналог процесса распространения волны в акустической трубе. Не так легко интерпретируются коэффициенты линии задержки с отводами. В то время как коэффициенты отражения лежат в пределах , коэффициенты эквивалентной линии задержки с отводами бывают в 10 раз . Когда коэффициент отражения равен нулю, сигнал распространяется без изменений до тех пор, пока смежные секции трубки имеют одинаковую площадь поперечного сечения. Когда коэффициент отражения близок к , сигналу свойственны высокорезонансные  или осциллирующие характеристики, поскольку волна полностью отражается, если следующая секция трубы замкнута (т. е. поперечное сечение равно нулю). И наоборот, если коэффициент отражения близок к , амплитуда сигнала обычно уменьшается, поскольку при сильном возрастании площади поперечного сечения вблизи границы происходит полное излучение в прямом направлении. Эта связь между физическими свойствами распространения волны в акустической трубе и аналогичной решетчатой структурой фильтра, в значительной мере, способствует интуитивному пониманию влияния  значений коэффициента отражения на характеристики сигнала.