5.4.1. Градиентные оценки коэффициентов отражения

Адаптивные градиентные алгоритмы для определения коэффициентов отражения значительно уменьшают вычислительную сложность метода оценивания. Для градиентных методов необходимо знать лишь ошибки предсказания в предшествующий момент времени. В методе блочных данных требовалось знать все предыдущие значения ошибок. Было предложено несколько способов адаптации коэффициентов отражения для каждой вновь наблюдаемой выборки данных.  Эти способы не минимизируют какой-либо критерий, а пытаются изменить коэффициент отражения в направлении уменьшения энергии ошибки предсказания (т. е. в направлении убывания градиента). Два класса градиентных методов либо аппроксимируют определение отражения (5.20), и оно принимает вид суммы коэффициента отражения и корректирующего слагаемого, либо отдельно аппроксимирует числитель и знаменатель. При наиболее простой корректировке коэффициента отражения [134]  используются ошибки прямого и обратного предсказания, взятые с весом :

        (5.21)

Эту оценку можно улучшить, заменяя весовой коэффициент нормированным по энергии членом , где  - суммарное среднее значение величин  и  [135, 214]:

             (5.22)

В другом классе градиентных методов адаптивная оценка [213, 214] получается путем аппроксимации отдельно числителя знаменателя выражения (5.20). Для обоих членов используется один и тот же весовой коэффициент . Отношение этих двух членов становится оценкой коэффициента отражения:

                 (5.23)

Это отношение – формула смещения оценки, поскольку, вообще говоря, ; моделирование показывает, что смещение обычно очень мало [146].

Сходимость решетчатого фильтра происходит гораздо быстрее, чем адаптивного фильтра на линии задержки с отводами [153, 280]. Это обусловлено тем, что решетчатый фильтр приводит к ортогонализации входного сигнала, и оценки коэффициентов, таким образом, становятся не связанными между собой. В действительности время сходимости почти не зависит от собственного значения скорости распространения сигнала (т. е. не зависит от спектрального динамического диапазона сигнала) [134]. Количественные характеристики свойств сходимости градиентных алгоритмов оценки коэффициента отражения (5.22) и (5.23) изучались в работе [146]. Двухстадийный градиентный решетчатый алгоритм сравнивается с двухстадийным МНК – градиентом фильтра на линии задержки с отводами, чтобы показать, что для фильтра на линии задержки с отводами  возможна, но маловероятна более быстрая сходимость, чем для решетчатого фильтра. В работе [114] методы решетчатого оценивания, в которых используется градиент, сравниваются с методами, в которых используется определение коэффициентов отражения блока данных (5.21) – (5.23).

Такого ортогонализирующего и развязывающего свойства решетчатого фильтра можно добиться асимптотически только при использовании градиентных методов оценивания, представленных в этом разделе. Рекурсивный решетчатый фильтр, использующий для оценивания алгоритм метода наименьших квадратов, разработанный в следующем разделе, точно решает задачу ортогонализации сигнала для каждой новой выборки данных. Оптимальное решение, аналогично нормированному по энергии решению для решетчатого градиентного фильтра (5.22), за исключением того, что вместо постоянной вычисляется оптимальный весовой коэффициент. Этот решетчатый алгоритм рекурсивного метода наименьших квадратов имеет даже более быструю сходимость, чем описанные выше градиентные методы оценивания. Однако, когда число выборок данных (из стационарного процесса) увеличивается, результаты, полученные для градиентной решетки, реализующей метод наименьших квадратов, становятся одинаковыми.