5.5.1. Постановка задачи рекурсивных оценок

При разработке решетчатых алгоритмов рекурсивного метода  наименьших квадратов  важными будут два аспекта решения нормального уравнения. Во-первых, эффективное обращение ковариационной матрицы в форме Теплица и не в форме Теплица увеличивает порядок корректирующих рекурсивных вычислений. Во-вторых, структура с корректировкой позволяет вычислить точные решения рекурсивным методом наименьших квадратов для каждой новой выборки данных. Это дает возможность для решетчатых алгоритмов достигнуть чрезвычайно быстрой сходимости и прекрасного отслеживания. Первый вывод решетчатого алгоритма рекурсивного метода наименьших квадратов можно рассматривать как расширение приближения Левинсона, основанного на коэффициентах функции предсказания. Как только были получены результаты рекурсивного метода, было замечено, что с помощью  параметров решетчатого фильтра их можно записать в более компактной форме. В работах [188, 190, 285] сообщалось о последующем непосредственном выводе рекурсивного уравнения, использующем геометрическое приближение, в которое входят лишь коэффициенты отражения  и параметры решетки. Далее приводится описание первого вывода, поскольку оно позволяет заглянуть в природу рекурсивного метода. Разработка рекурсивного метода для корректировки порядка и временной корректировки для решетчатых алгоритмов, основанных на специальных структурах нормального уравнения, производится в соответствии с приближением, данным в работе [188].

Если порядок функции прогнозирования изменяется, и добавляются новые выборки данных, то, прежде всего, необходимо использовать структурные свойства ковариационной матрицы. Ковариационная матрица порядка  для выборок данных , приводимая здесь, предварительно обработана с помощью функции окна:

           (5.27)

        (5.28)

Ковариационная матрица имеет следующие структурные свойства. Если обработке подвергается новая выборка данных , то новая ковариационная матрица будет представлять сумму предыдущей ковариационной матрицы и матрицы специальной формы. Уравнение для корректировки ковариационной матрицы имеет вид:

            (5.29)

Ковариационная матрица - го порядка, таким образом, содержит ковариационную матрицу -го порядка. Приведем матричные уравнения для корректировки порядка

                   (5.30)

где  - неопределенные элементы во внешней строке и внешнем столбце. Для разработки рекурсивного решения необходимо, чтобы нормальное уравнение (5.26) было расширено с помощью вспомогательных векторов. Векторами прямого и обратного предсказания будут  и  соответственно. С помощью вектора  учитываются новые выборки данных.

Эти векторы входят в следующее матричное уравнение, являющееся расширением уравнения (5.26):

                   (5.31)

Ошибка прямого предсказания  и ошибка обратного предсказания  определяются как в формулах (5.2), (5.3) при  [см. выражение (5.25)]:

                (5.32)

Для расчета конечного набора выборок данных вводятся вспомогательный вектор  и соответствующий скаляр :

              (5.33)

                  (5.34)

Данный параметр  можно интерпретировать как коэффициент правдоподобия; он изменяется в диапазоне  (см. разд. 5.5.5).