5.7. Метод наименьших квадратов с решеткой, нормированной на корень квадратныйСложность рекурсивных выражений можно уменьшить, а численные значения переменных улучшить, если переписать решетчатый алгоритм для метода наименьших квадратов через нормированные переменные. Метод наименьших квадратов через нормированные переменные. Метод наименьших квадратов с нормированной по корню квадратному решеткой , разработанный Ли [188], приводит лишь к трем рекурсивным выражениям на порядок для каждой временной выборки, когда все три переменные имеют единичную дисперсию. Переход от РНК – метода к НККРНК – методу требует нормирования двух видов. Нормирование по дисперсии масштабирует переменные с учетом их собственных дисперсий. Нормирование по оптимальному весовому коэффициенту, с учетом коэффициента правдоподобия Прямая и обратная ошибки предсказания после нормировки обозначаются
Комбинируя два коэффициента отражения из РНК – алгоритма, можно определить нормированную частную корреляцию Сначала из РНК – алгоритма выведем рекурсивное выражение для коэффициента частной корреляции (5.65). Дисперсии ошибок предсказания (с экспоненциальным весовым коэффициентом Деля это выражение на
Рекурсивное выражение для
Первый член можно заменить, согласно определения Используя (5.66) и (5.67), можно упростить новое выражение для временной корректировки в случае нормированной частной корреляции: Теперь рекурсивные выражения для решетчатого фильтра можно представить через эти новые переменные. Рекурсивные выражения корректировки порядка для ошибок прямого предсказания (5.42) можно записать с помощью нормированных коэффициентов частичной корреляции: Чтобы упростить данное выражение, необходимо вывести с помощью РНК – метода два уравнения для корректировки порядка: для коэффициента правдоподобия (5.47) и дисперсий ошибки предсказания: Используя эти соотношения, выражение (5.70) можно привести к простому выражению для нормированных ошибок прямого предсказания, а также получить аналогичное выражение для ошибок обратного предсказания:
Теперь мы имеем выражения (5.69), (5.71) и (5.72) – это рекурсивные выражения для решетчатого фильтра; они позволяют вычислить нормированные ошибки предсказания Коэффициенты отражения, используемые в НККРНК – методе, все еще имеют значения, ограниченные 1, но теперь ошибки предсказания также являются ограниченными. Число рекурсивных выражений для решетчатых фильтров уменьшилось с шести до всего лишь трех на каждую корректировку по времени и порядку. Необходимо выполнить операции извлечения квадратного корня. Это можно эффективно сделать с помощью поразрядных рекурсивных алгоритмов, например CORDIC – метода (обсуждаемого в следующем разделе). Простые рекурсивные выражения и их потенциально лучшие численные значения позволяют отдать предпочтение НККРНК – алгоритму по сравнению с ненормированным РНК – алгоритмом. Только что развитый НККРНК – метод применяется для экспоненциально взвешенных данных. Однако использование экспоненциального весового коэффициента Хотя НККРНК – алгоритм представляет собой очень эффективный и компактный алгоритм, при использовании его могут возникнуть сложности из-за необходимости вычислять квадратные корни. Анализ величины ошибки в фиксированной точке для данного алгоритма [278] показал, что вычисление квадратных корней с помощью арифметики с конечной длиной слова приводит к небольшим смещениям для коэффициентов отражения. В оценке это смещение преобладало над дисперсией ошибки и, обычно, было весьма малым. Смещение возрастало по мере сокращения длины слова или по мере приближения экспоненциального весового коэффициента Алгоритм 5.4. Метод наименьших квадратов с решеткой, нормированной на корень квадратный (НККРНК), при экспоненциально взвешенных скалярных данных. Входные параметры:
Переменные: Начальные данные: Итерация для каждой выборки данных Новая выборка данных
Для каждого каскада решетки при
|