5.6. Решетчатый фильтр в случае связанных процессов

Для решения многих практических задач требуется проанализировать взаимодействие двух или более связанных процессов, а не предсказывать изменение процесса на основании предыдущих его наблюдений. Например, для определения характеристик искажения канала, в фазе адаптации в корректирующий фильтр поступают из канала искаженные сигналы и действительные переданные из канала сигналы. В устройстве подавления шумов для извлечения информации используются сумма информационного сигнала и шума, и опорный или шумовой сигнал. Рекурсивный метод наименьших квадратов для связанных процессов обеспечивает очень быстрое отслеживание или адаптацию при коррекции канала или подавлении шума. Оценивание авторегрессивных процессов со скользящим средним (АРСС) с известным входным сигналом включает анализ взаимодействия двух связанных процессов. Вообще говоря, многоканальную задачу можно сформулировать как задачу для единственного векторного процесса, которую можно решить, распространяя на векторный случай предыдущее решение, полученное методом наименьших квадратов.

Когда один процесс  необходимо оценить по данным наблюдения за связанным с ним процессом , то можно объединить эти процессы в один процесс  и обработку его реализовать с помощью решетчатого фильтра для случая связанных процессов. Точное решение по методу наименьших квадратов, получаемое при оценивании связанных процессов, представляет собой обобщение решения, приведенного в разд. 5.5. Определяется новая ошибка предсказания, которая включает выборки из обоих процессов. Ошибка совместного предсказания (т. е. ошибка предсказания для связанных процессов - го порядка)  является ошибкой оценивания  из выборки :

                     (5.61)

где  - коэффициенты функции предсказания, полученные минимизацией суммы квадратичных ошибок. Решение (5.61) можно выразить через параметры решетчатой структуры  как раз так, как была бы преобразована единственная функция предсказания процесса (5.32)  в (5.42). Решетчатый фильтр  с предсказанием преобразует  путем ортогонализации  Грамм – Шмидта во взаимно ортогональные ошибки обратного предсказания . Использование ортогональных величин  вместо  в (5.61) имеет то преимущество, что коэффициенты функции предсказания для связанных процессов становятся несвязанными друг с другом, поэтому возможна более быстрая сходимость.

Решение для решетчатых фильтров, полученное в случае связанных процессов, включает РНК – алгоритм для процесса  и аналогичное рекурсивное выражение для ошибки совместного предсказания.  В РНК – алгоритме для процесса  в -ом каскаде величина решетки  является ошибкой обратного предсказания,  - ее дисперсия, а коэффициент правдоподобия равен . Новый член взаимной корреляции ,  подобный (5.57), можно определить для сигналов, полученных после -го каскада решетки  и . Этот новый член можно корректировать с помощью рекурсивного метода:

           (5.62)

Рекурсивное выражение для ошибки совместного предсказания  подобно (5.42), за исключением того, что теперь используются величины, полученные после -го каскада решетки.

При начальном условии  и выходном сигнале  имеем:

                (5.63)

Предыдущие выражения для случая одного канала, дополнение (5.62) и (5.63), позволяют получить полное решение задачи оценивания связанных процессов, т. е. описывают решетчатый фильтр, когда имеют место связанные процессы (рис. 5.7).

Рис. 5.7 Решетчатый фильтр для случая связанных процессов.

В задачах подавления шума, маскируемые шумом данные, содержащие полезный сигнал , наблюдаются вместе с шумовым или опорным сигналом  (см. [137, 279]). В задачах коррекции канала через канал посылается известная обучающая последовательность импульсов , а на выходе получают искаженный каналом сигнал . Применение алгоритма решетчатого оценивания для связанных процессов при адаптивной коррекции данных изучалось в работах [280, 282].

Задача оценивания в случае АРСС – процесса с известным входным сигналом и с предварительно оцененным выходным сигналом сформулирована в работе [191], как задача для решетчатого фильтра. Если обозначить входной процесс через , то выходным АРСС – процессом будет процесс , генерируемый следующим образом:

Уравнение для функции предсказания можно записать для процесса , если входной процесс  считать известным. Эта функция предсказания выводится из результатов        разд. 5.5, но теперь она включает взвешенную комбинацию предыдущих выборочных значений входного процесса :

Аналогично уравнение для функции предсказания можно получить для процесса , если процесс  считать известным; оно получается путем обобщения (5.61) на включение взвешенной комбинации предыдущих выборочных значений процесса :

Векторный процесс имеет структуру, подобную обсужденной ранее для скалярного АР – процесса. Теперь ошибки предсказания являются векторами, а ковариации являются матрицами. Алгоритм АРСС – решетчатого оценивания следует скалярному РНК или НККРНК – алгоритму (НККРНК – нормированная на корень квадратный решетка для метода наименьших квадратов), но теперь величины являются векторами и матрицами. Коэффициент отражения  стал матрицей . Дальнейшие подробности можно найти в работе [191].