5.5.5. Коэффициент правдоподобия

Информацию об изменениях, происходящих в характере наблюдаемого процесса, можно получить из переменной . Эту переменную можно интерпретировать как аппроксимацию на основании выборок данных статистического коэффициента правдоподобия. Для гауссова случайного процесса с нулевым средним  совместное распределение для  задается выражением:

              (5.58)

где  - ковариационная матрица, определяемая формулой (5.25).

Детерминант ковариационной матрицы  связан с коэффициентами отражения и дисперсией процесса  [219] следующим образом:

                (5.59)

Логарифм выражения (5.58) становится логарифмической функцией правдоподобия, состоящей из двух частей: два первых члена зависят от ковариационной матрицы процесса, а третий член основан на наблюдаемых выборках данных:

   (5.60)

Переменную , полученную с помощью точных выражений рекурсивного метода наименьших квадратов, можно интерпретировать как выборочную оценку третьего члена в (5.60). В определении  используется выборочная оценка ковариационной матрицы , вместо известной ковариационной матрицы .

Таким образом, переменная  служит критерием правдоподобия того, что  последних выборок данных  взяты из гауссова процесса с выборочной оценкой ковариационной матрицы , определенной из всех прошлых наблюдений . Переменная  изменяется в интервале . Малая величина  указывает на то, что последние выборки данных являются, вероятно, выборками из гауссова процесса с ковариационной матрицей  .

Величина , близкая к 1, означает, что, если текущий процесс считать гауссовым, наблюдаемые выборки данных станут непредсказуемыми: либо новые наблюдаемые выборки данных поступают из другого гауссова процесса, вследствие изменяющегося во времени характера физического процесса, либо в наблюдаемом процессе содержится негауссова компонента. Поэтому  можно рассматривать как величину, которая характеризует изменения в статистике процесса или позволяет установить появление непредсказуемых (негауссовых) компонент в наблюдаемом процессе. Моделирование показало, что  действительно принимает значения, близкие к 1, когда происходят внезапные изменения наблюдаемого процесса. В РНК – алгоритме  действует как коэффициент оптимального усиления, ибо новая выборка данных уменьшает суммарную оценку в  раз. Этот коэффициент усиления показывает, что изменения в статистике процесса мгновенно влияют на оценку, и это влияние сильнее, чем усреднение с прошлыми наблюдаемыми выборками данных. В разд. 5.9 показаны результаты моделирования, демонстрирующие такое поведение при обработке синтезированных и речевых сигналов.