5.5.4. Точные выражения для решетчатых фильтров на основе рекурсивного метода наименьших квадратов
До сих пор рекурсивные выражения были выведены для векторов функции предсказания и матриц
,
и
. В случае предсказывающего фильтра
- го порядка, для получения выражений требуется выполнить
операций на временную выборку, так как все коэффициенты для функций предсказания изменяются при корректировке порядка. Однако для решетчатой структуры, вследствие ее ортогонализирующего характера, при корректировке
- го порядка изменяется только
- й коэффициент отражения. Точное выражение, получаемое рекурсивным методом наименьших квадратов, можно представить непосредственно через переменные решетчатого фильтра; для этого потребуется выполнить лишь
операций на одну временную выборку.
Рекурсивные выражения (5.42) – (5.45) служат для корректировки порядка переменных решетчатого фильтра
и
, выражения (5.39) и (5.41) – для корректировки порядка
и
, а выражения (5.53) и (5.55) – для временных корректировок. Коэффициенты отражения, определенные выше, зависят от величины
, которая связана с коэффициентами частной корреляции. Здесь необходимым дополнением корреляции для новой выборки данных является временная корректировка (5.57) для
. В этих корректировках требуется, также, учитывать корректировку порядка
, определяемую выражением (5.47). Очевидно, что, используя эти рекурсивные выражения и оптимальное взвешивание с коэффициентами
, можно вычислить выборочные перекрестные ковариационные моменты ошибок прямого и обратного предсказания. Из разд. 5.4 следует, что градиентные решетчатые уравнения имеют такую же форму, как вышеприведенные, за исключением того, что для каждой новой выборки данных в точном рекурсивном решении по методу наименьших квадратов рассчитывается оптимальный весовой коэффициент.
В алгоритме 5.3 представлена полная система рекурсивных выражений для корректировки порядка и временной корректировки, обеспечивающая получение точного решетчатого выражения для функции предсказания на основе метода наименьших квадратов (РНК). Когда в решетчатый фильтр поступает сигнал, выполняют свои функции только те каскады, которые принимают выборки данных, причем это делается до тех пор, пока не будет обработано
- выборок [т. е. используется минимальное число каскадов фильтра
, где
- номер выборки данных].
Алгоритм 5.3. Рекурсивный метод наименьших квадратов (РНК) для решетчатых фильтров; скалярный случай для экспоненциально взвешенных данных.
Входные параметры:
- максимальный порядок решетки.
- экспоненциально весовой коэффициент (обычно от 0,98 до 1,0).
- выборка данных в момент
.
Переменные:
- коэффициенты частной автокорреляции.
- коэффициент правдоподобия;
,
- ошибки прямого (обратного) предсказания;
,
- ковариации ошибки прямого (обратного) предсказания).
,
- прямой (обратный коэффициент отражения.
Начальные условия:
,
,
,
,
.
Итерация для каждой новой выборки данных:
Для выборки данных
предыдущих результатов для
,
,
,
,
имеем:
,

Для каждого каскада решетки
,
:






когда


или же

