5.5.4. Точные выражения для решетчатых фильтров на основе рекурсивного метода наименьших квадратов

До сих пор рекурсивные выражения были выведены для векторов функции предсказания и матриц , и . В случае предсказывающего фильтра - го порядка, для получения выражений требуется выполнить операций на временную выборку, так как все коэффициенты для функций предсказания изменяются при корректировке порядка. Однако для решетчатой структуры, вследствие ее ортогонализирующего характера, при корректировке - го порядка изменяется только - й коэффициент отражения. Точное выражение, получаемое рекурсивным методом наименьших квадратов, можно представить непосредственно через переменные решетчатого фильтра; для этого потребуется выполнить лишь операций на одну временную выборку.

Рекурсивные выражения (5.42) – (5.45) служат для корректировки порядка переменных решетчатого фильтра и , выражения (5.39) и (5.41) – для корректировки порядка и , а выражения (5.53) и (5.55) – для временных корректировок. Коэффициенты отражения, определенные выше, зависят от величины , которая связана с коэффициентами частной корреляции. Здесь необходимым дополнением корреляции для новой выборки данных является временная корректировка (5.57) для . В этих корректировках требуется, также, учитывать корректировку порядка , определяемую выражением (5.47). Очевидно, что, используя эти рекурсивные выражения и оптимальное взвешивание с коэффициентами , можно вычислить выборочные перекрестные ковариационные моменты ошибок прямого и обратного предсказания. Из разд. 5.4 следует, что градиентные решетчатые уравнения имеют такую же форму, как вышеприведенные, за исключением того, что для каждой новой выборки данных в точном рекурсивном решении по методу наименьших квадратов рассчитывается оптимальный весовой коэффициент.

В алгоритме 5.3 представлена полная система рекурсивных выражений для корректировки порядка и временной корректировки, обеспечивающая получение точного решетчатого выражения для функции предсказания на основе метода наименьших квадратов (РНК). Когда в решетчатый фильтр поступает сигнал, выполняют свои функции только те каскады, которые принимают выборки данных, причем это делается до тех пор, пока не будет обработано - выборок [т. е. используется минимальное число каскадов фильтра , где - номер выборки данных].