6.3.2. МНК - адаптивный фильтр с обработкой сигнала в частотной области без наложенных ограничений

Для алгоритма БМНК, рассмотренного в предыдущем разделе, требуется пять БПФ для обработки каждого блока данных; два из них необходимы для наложения ограничений во временной области, заключающихся в том, что вторая половина весовых коэффициентов во временной области приравнивается нулю. Это требовалось для того, чтобы реализовать строго линейную свертку входного сигнала фильтра и импульсной характеристики. В МНК – адаптивном фильтре, выполняющем обработку сигналов в частотной области без наложения ограничений (БОБМНК) [215], это требование снимается, что дает более простой адаптивный фильтр, который может выполнять либо линейную, либо круговую свертку, в зависимости от того, какая из них лучше минимизирует  среднеквадратичную ошибку. Допустим, что имеющаяся у фильтра возможность выполнения круговой свертки будет желательной для ряда применений  в тех случаях, когда не имеет значения, каким образом входной сигнал фильтра используется для минимизации  среднеквадратичной ошибки (например, подавление шума [339]  или многоканальное усиление сигнала [98]). И действительно, не исключено, что среднеквадратичную ошибку можно уменьшить, используя круговую свертку. Однако, проблема возникает при попытке применить БОБМНК для адаптивного предсказания или коррекции линии связи [302]. В этих применениях адаптивного фильтра для предсказания текущего значения сигнала используются прошлые значения входного сигнала. Очевидно, что адаптивный фильтр не смог бы использовать текущие значения сигнала для предсказания. Однако, когда применяется блочная обработка сигналов, как в алгоритме БОБМНК, адаптивному фильтру оказываются доступны не только прошлые значения входных сигналов, но также и многие текущие и будущие значения. Хотя на весовые коэффициенты наложены ограничения, для минимизации среднеквадратичной ошибки адаптивный фильтр может использовать текущие и будущие значения. Это чрезвычайно неблагоприятно для случая коррекции линии связи, так как получающийся выходной сигнал фильтра почти идентичен входному сигналу фильтра с незначительным усилением спектральных линий. Предшествующие рассуждения применимы только тогда, когда осуществляется предсказание некоторого числа выборок, которое меньше размерности БПФ; для более длинных интервалов прогнозирования это не вызывает сложности, поскольку значения выборок соответствующего искомого отклика и блоков входных сигналов фильтра не связаны между собой. 

Блок-схема БОБМНК – адаптивного фильтра идентична блок-схеме, изображенной на рис. 6.2, за исключением того, что устранено ограничение, отмеченное на рисунке пунктирной линией, а это исключает два из БПФ, используемых в БМНК - адаптивном  фильтре. Следовательно, отношение числа вещественных умножений для обычного алгоритма МНК имеет вид:

               (6.53)

Это отношение табулировано ниже для нескольких значений :

16	1,0
32	0,59
64	0,34
256	0,11
1024	0,033

Если в алгоритме БМНК снять ограничение, согласно которому коэффициенты приравниваются нулю [(6.42) – (6.44)], то его можно выразить в виде

          (6.54)    

              (6.55)

                      (6.56)

Оптимальный весовой вектор. Теперь рассчитаем оптимальные весовые коэффициенты, которые минимизируют среднеквадратичную ошибку выходного сигнала фильтра относительно искомого отклика. Среднеквадратичная ошибка  , выраженная в виде функции весового вектора , определяется формулой:

              (6.57)

где мы использовали тот факт, что . Следовательно,

        (6.58)

где -  - мерное ДПФ для , которому предшествует  нулей:

           (6.59)

а  - матрица  функции окна:

Обобщая (6.58), получаем

             (6.60)

        (6.61)

Полагая, что градиент (6.60) по  равен нулю, находим оптимальный весовой вектор

          (6.62)

где

        (6.63)

и

                 (6.64) 

Эквивалентный весовой вектор для обработки во временной области имеет вид:

             (6.65)

где

           (6.66)

          (6.67)

а - циркулянтная матрица, определяемая формулой

        (6.68)

Свойства сходимости. Используя аргумент, аналогичный аргументу, рассмотренному в разд. 6.2, находим, что алгоритм БОБМНК удовлетворяет условию:

             (6.69)

в том случае, если

           (6.70)

где  - максимальное характеристическое число  или . Постоянные времени сходимости  мод адаптивного процесса задаются выражениями: 

                  (6.71а)

                  (6.71б)

где  -   -е характеристическое число   или . Используя допущение о гауссовом распределении, введенное в разд. 6.1, можно найти, что для расстройки имеют место формулы

                  (6.72а)

              (6.72б)

где  - мощность входного сигнала  фильтра.

Для обеспечения устойчивости расстройка должна иметь ограниченную величину

       (6.73)

где - среднее характеристическое  число .