6.3. Алгоритмы для обычной адаптивной фильтрацииАдаптивные фильтры, обеспечивающие линейную свертку входного сигнала фильтра и импульсной характеристики, вообще говоря, более полезны для целей фильтрации, чем фильтры, выполняющие только круговую свертку. В данном разделе описаны два типа адаптивных фильтров с обработкой сигналов в частотной области, обеспечивающие выполнение линейной свертки. Один из адаптивных фильтров, называемый в литературе блочным МНК – или быстрым МНК –фильтром, выполняет строго линейную свертку. Он позволяет осуществлять эффективную обработку сигналов в частотной области при сохранении характеристик, эквивалентных характеристикам широко применяемого МНК – адаптивного фильтра. Другой адаптивный фильтр, рассматриваемый в данном разделе – не имеющий ограничений МНК – адаптивный фильтр с обработкой сигнала в частотной области, - обеспечивает либо линейную, либо круговую свертку, в зависимости от того, какая из них лучше минимизирует среднеквадратичную ошибку. 6.3.1. Адаптивный фильтр на основе быстрого метода наименьших квадратовБлочный МНК – адаптивный фильтр [57] и быстрый МНК – адаптивный фильтр [97] являются по существу идентичными реализациями в частотной области блочного алгоритма МНК с обработкой сигналов во временной области. В этом алгоритме данные группируются в блоки по где а Элементы Блочный МНК –фильтр имеет свойства (за исключением устойчивости), идентичные свойствам обычного МНК – адаптивного фильтра, в котором весовые коэффициенты корректируются с частотой дискретизации. Эти свойства будут обсуждены позже. Блочный алгоритм МНК можно реализовать для обработки сигналов в частотной области с помощью метода «уменьшения перекрытия» [247], дающего в результате существенное сокращение объема вычислений по сравнению с обработкой сигналов во временной области. Возможна также реализация для обработки сигналов в частотной области с помощью метода «дополнительного перекрытия», но это приводит к большему объему вычислений, по сравнению с объемом вычислений, необходимых в методе уменьшения перекрытия [58]. Хотя можно реализовать фильтр с любой величиной перекрытия, случай 50%-ного перекрытия (размер блоков равен числу весовых коэффициентов) – самый эффективный [57] и будет рассмотрен в данной книге. Уравнение для выходного сигнала фильтра (6.31) представляет собой свертку входного сигнала фильтра и импульсной характеристики, и может быть вычислено с помощью метода уменьшения перекрытия. В соответствии с этим методом, весовые коэффициенты должны быть дополнены тогда Свертка в (6.31) реализуется с помощью Уравнение (6.37) дает значения выходных сигналов фильтра для Чтобы реализовать уравнение корректировки вектора весовых коэффициентов (6.30) в частотной области, заметим, что т. е. элементы Далее получим: Окончательно уравнение корректировки вектора весовых коэффициентов в частотной области будет иметь вид: Если последние Уравнения (6.35) – (6.40) определяют быстрый МНК – адаптивный фильтр (БМНК). Блок схема этого фильтра показана на рис. 6.2. Двойными линиями на рис. 6.2 обозначен параллельный поток данных в частотной области. Если мы имеем дело с БМНК – фильтром, то для каждого блока, содержащего Результаты расчета по этому соотношению для нескольких значений
Для фильтров с большим объемом блока входных данных уменьшение вычислений, достигаемое за счет использования алгоритма БМНК, оказывается существенным, даже, несмотря на то, что требуется пять БПФ. Алгоритм БМНК можно записать в следующей матричной форме, которая впоследствии будет полезной: где Рис. 6.2. Адаптивный фильтр на основе быстрого метода наименьших квадратов (БМНК) с учетом ограничения градиента (схема ограничения показана пунктирной линией) или адаптивный фильтр на основе быстрого метода наименьших квадратов без учета ограничения (БОБМНК) (схема ограничения заменена короткозамкнутой цепью). Свойства сходимости. Поскольку алгоритм БМНК является точной реализацией блочного алгоритма МНК, достаточно исследовать свойства сходимости последнего (более подробные доказательства см. в работе [57]). Воспользовавшись уравнениями (6.30) и (6.31), можно получить рекурсивное соотношение для математического ожидания весового вектора, считая, что где и Используя эти результаты в методе скорейшего спуска [341], можно показать, что при условии, что где Можно показать, что постоянные времени сходимости Эти постоянные времени идентичны постоянным времени для обычного алгоритма МНК. Полагая далее, что
оно совпадает со значением Поскольку обычно желательно, чтобы расстройка не превышала 0,1 , ограничение (6.52) трудно выполнить лишь для случая сильно различающихся характеристических чисел. Ограничение (6.52) представляет менее сложную проблему в том случае, когда увеличивается перекрытие блоков данных между последовательно выполняемыми БПФ, хотя это приводит к менее эффективной обработке сигналов, так как, в результате, при каждой итерации получается меньшее количество импульсов выходных сигналов.
|