6.3. Алгоритмы для обычной адаптивной фильтрации

Адаптивные фильтры, обеспечивающие линейную свертку входного сигнала фильтра и импульсной характеристики, вообще говоря, более полезны для целей фильтрации, чем фильтры, выполняющие только круговую свертку. В данном разделе описаны два типа адаптивных фильтров с обработкой сигналов в частотной области, обеспечивающие выполнение линейной свертки. Один из адаптивных фильтров, называемый в литературе блочным МНК – или быстрым МНК –фильтром, выполняет строго линейную свертку. Он позволяет осуществлять эффективную обработку сигналов в частотной области при сохранении характеристик, эквивалентных характеристикам широко применяемого МНК – адаптивного фильтра. Другой адаптивный фильтр, рассматриваемый в данном разделе – не имеющий ограничений МНК – адаптивный фильтр с обработкой сигнала в частотной области, - обеспечивает либо линейную, либо круговую свертку, в зависимости от того, какая из них лучше минимизирует среднеквадратичную ошибку. 

6.3.1. Адаптивный фильтр на основе быстрого метода наименьших квадратов

Блочный МНК – адаптивный фильтр [57] и быстрый МНК – адаптивный фильтр [97] являются по существу идентичными реализациями в частотной области блочного алгоритма МНК с обработкой сигналов во временной области. В этом алгоритме данные группируются в блоки по   выборок, а весовые коэффициенты фильтра поддерживаются постоянными в пределах каждого блока. Во время обработки - го блока используют следующие уравнения для адаптивного фильтра:

                (6.30)

          (6.31)

где - вектор, содержащий весовые коэффициенты фильтра во время обработки  - го блока:

                 (6.32)

а содержит  последних импульсов входных сигналов фильтра в момент времени :

        (6.33)

Элементы можно считать выходными сигналами линии задержки с  - отводами. Ошибка  - разность между искомым откликом  и выходным сигналом фильтра:

               (6.34)

Блочный МНК –фильтр имеет свойства (за исключением устойчивости), идентичные свойствам обычного МНК – адаптивного фильтра, в котором весовые коэффициенты корректируются с частотой дискретизации. Эти свойства будут обсуждены позже.

Блочный алгоритм МНК можно реализовать для обработки сигналов в частотной области с помощью метода «уменьшения перекрытия» [247], дающего в результате существенное сокращение объема вычислений по сравнению с обработкой сигналов во временной области. Возможна также реализация для обработки сигналов в частотной области с помощью метода «дополнительного перекрытия», но это приводит к большему объему вычислений, по сравнению с объемом вычислений, необходимых в методе уменьшения перекрытия [58]. Хотя можно реализовать фильтр с любой величиной перекрытия, случай 50%-ного перекрытия (размер блоков равен числу весовых коэффициентов) – самый эффективный [57] и будет рассмотрен в данной книге. Уравнение для выходного сигнала фильтра (6.31) представляет собой свертку входного сигнала фильтра и импульсной характеристики, и может быть вычислено с помощью метода уменьшения перекрытия. В соответствии с этим методом, весовые коэффициенты должны быть дополнены  нулями и применено - мерное БПФ. Пусть  - вектор длиной ; его элементы – БПФ - коэффициенты дополненного нулями весового вектора во временной области:

            (6.35)

тогда - весовой вектор для частотной области. Пусть  - диагональная матрица, элементами которой являются результаты   - мерного преобразования -го и -го блоков входных данных:

                   (6.36)

Свертка в (6.31) реализуется с помощью

          (6.37)

Уравнение (6.37) дает значения выходных сигналов фильтра для - го блока. Отметим, что если трансверсальный  фильтр при реализации во временной области имеет  весовых коэффициентов, то при реализации в частотной области ему потребуется  весовых коэффициентов.

Чтобы реализовать уравнение корректировки вектора весовых коэффициентов (6.30) в частотной области, заметим, что -й элемент  можно переписать в виде

т. е. элементы  задаются взаимной корреляцией последовательности сигналов ошибки и входных сигналов фильтра. Градиент  можно вычислять с помощью БПФ, если сначала рассчитать результат преобразования  последовательности сигналов ошибки, которой предшествует  нулей:

            (6.38)

Далее получим:

         (6.39)

Окончательно уравнение корректировки вектора весовых коэффициентов в частотной области будет иметь вид:

             (6.40)

Если последние  величин обратного преобразования исходного весового вектора приравнять к нулю, то (6.40) будет точной реализацией (6.30) в частотной области.

Уравнения (6.35) – (6.40) определяют быстрый МНК – адаптивный фильтр (БМНК). Блок схема этого фильтра показана на рис. 6.2. Двойными линиями на рис. 6.2 обозначен параллельный поток данных в частотной области.

Если мы имеем дело с БМНК – фильтром, то для каждого блока, содержащего  выборок, требуется пять - мерных БПФ и два комплексных умножения для  чисел. Для вещественных входных данных все преобразования симметричные, и необходимо вычислить лишь первые  членов. Более того, для вещественных данных   - мерное БПФ можно реализовать с помощью - мерного БПФ и  комплексных умножений [60]. Для - мерного БПФ по основанию 2 требуется примерно  комплексных умножений [286] (для БПФ по основанию 4 необходим несколько меньший объем вычислений). Следовательно, число комплексных умножений для каждого блока равно  для пяти БПФ и примерно  для комплексного взвешивания и корректировки. Чтобы получить  - выборок выходного сигнала с помощью обычного МНК – адаптивного фильтра, требуется  вещественных умножений. Полагая, сто одно комплексное умножение эквивалентно четырем вещественным умножениям, получаем следующее соотношение:

         (6.41)

Результаты расчета по этому соотношению для нескольких значений  приведены в следующей таблице:

 

16	1,5
32	0,91
64	0,53
256	0,17
1024	0,053

Для фильтров с большим объемом блока входных данных уменьшение вычислений,  достигаемое за счет использования алгоритма БМНК, оказывается существенным, даже, несмотря на то, что требуется пять БПФ.

Алгоритм БМНК можно записать в следующей матричной форме, которая впоследствии будет полезной:

                  (6.42)

              (6.43)

           (6.44)

где - ДПФ – матрица , а - единичная матрица .

Рис. 6.2. Адаптивный фильтр на основе быстрого метода наименьших квадратов (БМНК) с учетом ограничения градиента (схема ограничения показана пунктирной линией) или адаптивный фильтр на основе быстрого метода наименьших квадратов без учета ограничения (БОБМНК) (схема ограничения заменена короткозамкнутой цепью).

Свойства сходимости. Поскольку алгоритм БМНК является точной реализацией блочного алгоритма МНК, достаточно исследовать свойства сходимости последнего (более подробные доказательства см. в работе [57]). Воспользовавшись уравнениями (6.30) и (6.31), можно получить рекурсивное соотношение для математического ожидания весового вектора, считая, что  и  стационарные, а вектор  не коррелирован во времени:

              (6.45)

где

             (6.46)

и

               (6.47)

Используя эти результаты в методе скорейшего спуска [341], можно показать, что

           (6.48)

при условии, что

     .  (6.49)

где - максимальное характеристическое число матрицы . Следовательно, весовой вектор после сходимости идентичен вектору, полученному с помощью обычного алгоритма МНК. Однако в условии устойчивости обычного алгоритма МНК в знаменателе (6.49) отсутствует , что означает более быструю адаптацию. Следовательно, условие устойчивости для блочного алгоритма МНК более жесткое, чем для обычного алгоритма МНК. Это может вызвать затруднения в том случае, когда характеристические числа   сильно различаются.

Можно показать, что постоянные времени сходимости   мод адаптивного процесса равны

              (6.50а)

           (6.50б)

Эти постоянные времени идентичны постоянным времени для обычного алгоритма МНК.

Полагая далее, что  и  - гауссовы величины с нулевым средним, можно найти выражение для коэффициента расстройки адаптивного процесса:

 (6.51а)

                    ;     (6.51б)

оно совпадает со значением для случая обычного алгоритм МНК. Следовательно, для получения одинаковых ошибок в установившемся режиме, коэффициент  должен выбираться одинаковым, а это для любого алгоритма приводит к идентичным скоростям сходимости. Такой случай не всегда может реализоваться из-за более жестких условий устойчивости для блочного алгоритма МНК. Требование устойчивости ограничивает величину коэффициента расстройки блочного алгоритма МНК так, что удовлетворяется условие

   .     (6.52)

Поскольку обычно желательно, чтобы расстройка не превышала 0,1 , ограничение (6.52) трудно выполнить лишь для случая сильно различающихся характеристических чисел. Ограничение (6.52) представляет менее сложную проблему в том случае, когда увеличивается перекрытие блоков данных между последовательно выполняемыми БПФ, хотя это приводит к менее эффективной обработке сигналов, так как, в результате, при каждой итерации получается меньшее количество импульсов выходных сигналов.