6.2. Адаптивный фильтр с обработкой сигнала в частотной области, основанной на кругвой свертке

Одним из простейших адаптивных фильтров с обработкой сигнала в частотной области является фильтр, показанный на рис. 6.1 [27,72]. Входной сигнал  и искомый отклик  накапливаются в буферных запоминающих устройствах для формирования блоков данных, содержащих  выборок. Затем они преобразуются с помощью  - мерного БПФ. Каждый из выходных сигналов БПФ представляет собой набор из  комплексных чисел. Значения искомого результата преобразования вычитаются из входных значений на соответствующих частотах для получения  комплексных сигналов ошибок. Имеется  комплексных весов, каждый из которых соответствует каждой спектральной выборке. Для каждого блока данных производится однократная независимая корректировка каждого весового коэффициента. Взвешенные выходные сигналы поступают на оператор обратного БПФ для получения выходного сигнала .

Для корректировки каждого весового коэффициента используется комплексный МНК – алгоритм [338]. Для - выборки спектра -й комплексный весовой коэффициент корректируется, в соответствии с уравнением:

        (6.1)

где - константа, определяющая скорость сходимости и устойчивость адаптивного процесса. Для статистических стационарных входных сигналов уравнение корректировки весовых коэффициентов (6.1) в конечном итоге минимизирует среднеквадратичную ошибку - й выборки спектра при условии, что величина  выбирается достаточно малой.

При использовании данного адаптивного фильтра с обработкой сигнала в частотной области достигается существенное уменьшение объема вычислений по сравнению с традиционной  адаптивной фильтрацией во временной области. Этот факт можно подтвердить, вычислив число операций умножения, требующихся для обработки фиксированного объема данных.

Рис. 6.1. Адаптивный фильтр сигнала в частотной области на основе круговой свертки. (Из работы [72].)

Чтобы получить выборок выходных данных с помощью МНК – адаптивного фильтра  с  отводами, производящего обработку во временной области, требуется умножений вещественных чисел. Для получения того же объема выходных данных с помощью фильтра, выполняющего обработку сигнала в частотной области, требуется три  - мерных БПФ и  комплексных умножений для комплексного взвешивания и корректировки. Однако в случае вещественных входных данных все результаты преобразований являются симметричными, так что можно исключить примерно половину весовых коэффициентов. Более того, для случая вещественных данных - мерное БПФ можно реализовать с помощью  - мерного БПФ и   комплексных умножений [60]. Для - мерного БПФ требуется примерно  комплексных умножений для получения результата преобразований в двоичной системе счислений [286]. Полагая, что для каждого комплексного умножения необходимо четыре вещественных умножения, получаем, что для фильтра, выполняющего обработку в частотной области, требуется  вещественных умножений по сравнению с  умножений для фильтра, выполняющего обработку во временной области. Для фильтров большой размерности уменьшение объема вычислений при обработке сигнала в частотной области является существенным, как показано в следующей таблице.

	Отношение числа  вещественных умножений в частотной области к числу МНК – вещественных умножений
16	0,41
32	0,25
64	0,15
256	0,049
1024	0,015

К сожалению, показанный на рис. 6.1 фильтр с обработкой сигнала в частотной области производит скорее не линейную свертку, а круговую свертку [247] входного сигнала с импульсной характеристикой адаптивного фильтра (обратное БПФ комплексных весовых коэффициентов). Использование круговой свертки, вместо линейной, преобразует линейный инвариантный во времени фильтр в фильтр с периодически меняющимися во времени параметрами, выходной сигнал которого при стационарном входном сигнале становится периодически нестационарным [256] (см. приложение в конце гл. 6). В то время как этот метод (рис. 6.1) нашел применение для обнаружения сигнала при обработке в частотной области, вследствие присущего ему свойства круговой свертки, он оказывается менее полезным для применения в обычной фильтрации. Мы увидим, что адаптивный фильтр, изображенный на рис. 6.1, минимизирует среднеквадратичную ошибку выходного сигнала относительно искомого отклика, позволяя применить круговую свертку. Обычно применение круговой свертки в большей степени способствует уменьшению эффективной длины импульсной характеристики, а это ведет к уменьшению влияния «обертывающей» ошибки, являющейся следствием применения круговой свертки. Влияние круговой свертки можно уменьшить, если выбрать длину характеристики фильтра (размерность БПФ) гораздо больше, чем эффективная длина отличного от нуля участка оптимальной импульсной характеристики для линейной свертки. Хотя это существенно уменьшает вычислительную эффективность данного подхода,  его простота в сочетании с тем фактом, что весовые коэффициенты подстраиваются независимо друг от друга, делает его перспективным для исследования.

Для анализа данного алгоритма определим весовой вектор в частотной области для           - го блока данных в виде:

                          (6.2)

а диагональную матрицу входных БПФ – коэффициентов – как

       (6.3)

Аналогично, пусть ,  и  - векторы, описывающие в частотной области выходной сигнал, искомый отклик и ошибку для - го блока. Отметим, что

                          (6.4)

и

              (6.5)

Уравнения корректировки весовых коэффициентов в частотной области можно представить в виде:

               (6.6)

Полезно рассмотреть во временной области операции, эквивалентные тем, которые описывает уравнение (6.6). Указанное уравнение можно преобразовать во временную область и получить

      (6.7)

где

          (6.8)

           (6.9)

а - циркулянтная матрица, заданная выражением

          (6.10)

Первый столбец является входным вектором , поскольку он представляет собой обратное ДПФ диагональных элементов . Следовательно, циркулянтная матрица  имеет следующий вид:

          (6.11)

Если обозначить - ю строку как , то для (6.7) будем иметь

           (6.12)

где - -й элемент выходного вектора

         (6.13)

Вектор  содержит элементы -го выходного блока данных фильтра. Элементы  получают с помощью круговой свертки импульсной характеристики  с полученными путем вращения версиями входного вектора .

Эквивалентное уравнение корректировки весовых коэффициентов во временной области можно записать в виде:

               (6.14)

где . Отметим, что (6.14) отличается от обычного МНК – алгоритма тем, что, несмотря на проведение однократной адаптации для каждого блока данных, оценки градиента перед использованием их для корректировки весовых коэффициентов суммируются по полному блоку данных.

Оптимальный весовой вектор. Оптимальное решение для , минимизирующее среднеквадратичную ошибку   относительно , можно определить следующим образом (полагая, что  и  - стационарные). Достаточно минимизировать  

                (6.15)

где

                       (6.16)

и

            (6.17)

Отметим, что матрица  - диагональная, причем ее - й диагональный элемент задается как . -м элементом матрицы  будет .

 

 

Взяв градиент (6.15) и приравняв его нулю, получим оптимальные весовые коэффициенты в частотной области:

                    (6.18)

Выполняя для уравнения (6.18) обратное ДПФ, находим оптимальные весовые коэффициенты во временной области для фильтра, построенного на основе круговой свертки:

               (6.19)

где

      ,          (6.20)

и

      .         (6.21)

Матрица циркулянтная, поскольку  - диагональная матрица. Значение первой строки задаются сдвигами от нуля до  круговой автокорреляционной функции входного сигнала . Круговую автокорреляционную функцию  при запаздывании  можно выразить через обычную линейную автокорреляционную функцию  как:

           (6.22)

Аналогичное выражение получается для круговой взаимной корреляции между  и ; из него можно определить элементы вектора .

Свойства сходимости. Взяв математическое ожидание (6.6) и полагая входные сигналы стационарными, имеем

          (6.23)

где использовано обычное допущение о том, что  и  не коррелированы. Хотя это допущение строго справедливо, оно обычно принимается при анализе адаптивных фильтров  из-за своей простоты и дает ряд полезных результатов. Здесь мы примем это упрощающее допущение для того, чтобы глубже проанализировать адаптивный процесс.

Уравнение (6.23) реализует метод ускоренного спуска, и оно хорошо исследовано в работе [341] . Автокорреляционная матрица входного сигнала , характеристические числа которой определяют устойчивость и скорость сходимости адаптивного процесса, в данном случае будет диагональной. Следовательно, характеристические числа этой матрицы задаются ее диагональными элементами, представляющими собой мощности выборок ДПФ. Если коэффициент выбран достаточно малым, то математическое ожидание весового вектора  будет сходиться к пределу

               (6.24)

Таким образом, средний весовой вектор сходится к оптимальному весовому вектору. Запишем условие устойчивости алгоритма:

            (6.25)

где  - максимальное характеристическое число  . Поскольку матрица  диагональная, весовые коэффициенты сходятся независимо друг от друга.

 

Постоянная сходимости -го весового коэффициента задается формулой

       (6.26а)

                     (6.26б)

где - -е характеристическое число . Отметим, что поскольку  диагональная матрица, ее характеристические числа представляют собой ее диагональные элементы, а они, в свою очередь, равны мощностям выборок БПФ.

Расстройка. Поскольку градиент оценивается на основе обработки конечного объема данных, он определяется с некоторой ошибкой, что приводит к случайным флуктуациям коэффициентов фильтра вблизи их оптимального значения. В результате, среднеквадратичная ошибка превышает минимальное значение среднеквадратичной ошибки. Эта дополнительная среднеквадратичная ошибка, нормированная на минимальную среднеквадратичную ошибку, называется «расстройкой» [см. (3.50)].

Если допустить, что значения  не коррелированы, а   и   имеют гауссово распределение с нулевым средним, можно вывести выражение для расстройки процесса адаптивной фильтрации. Хотя эти допущения могут не быть строго справедливыми, они обычно принимаются для упрощения анализа и получения формулы для расстройки, которую можно сравнить с аналогичной формулой для обычных фильтров, выполняющих обработку сигналов во временной области. Начиная с (6.14), дальнейший вывод соотношения для расстройки аналогичен выводу, выполненному в работе [341], и можно найти, что расстройка  [см. (3.91)] определяется выражением:

               (6.27а)

   (6.27б)

где - мощность входного сигнала фильтра. Отметим, что для выполнения условия устойчивости (6.25) требуется, чтобы

          (6.28)

это устанавливает верхний предел допустимой расстройки. Комбинируя (6.26б) и (6.27), приходим к формуле, выражающей постоянную времени адаптации -й моды через расстройку:

             (6.29)

Соответствующее соотношение для МНК-адаптивного фильтра, выполняющего обработку сигналов во временной области, по форме идентичной (6.29). Следовательно, хотя адаптация в частотной области выполняется лишь однократно для блока данных, она может происходить с той же скоростью, как и при подстройке весовых коэффициентов по каждой выборке, без увеличения расстройки (если ). Это вытекает из того факта, что при блочной обработке для получения более точной оценки градиента [269] индивидуальные оценки градиентов по каждой выборке суммируются. Следует отметить, что найденные в результате сходимости решение и минимальная среднеквадратичная ошибка фильтра, выполняющего обработку сигналов в частотной области, не идентичны тем же величинам, полученным для обычного МНК – фильтра, поскольку в первом из упомянутых фильтров выполняется круговая свертка.