6. АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Эрл Р. Феррара, мл.

6.1 Введение

В данной главе исследуется класс алгоритмов адаптивных фильтров, в котором входной сигнал преобразуется в частотную область перед выполнением адаптивной фильтрации. Рассматриваемые здесь преобразования являются преобразованиями определенного типа [например, основанными на быстром преобразовании Фурье (БПФ)] и отличаются от описанных в гл. 5 ортогонализирующих преобразований, зависящих от данных. В описываемых адаптивных алгоритмах используются алгоритмы убывания градиента, обсуждавшиеся в гл. 3, или алгоритмы убывания градиента, видоизмененные так, чтобы можно было регулировать коэффициенты (или «веса») фильтра (разд.  6.6.).

Существуют два основных преимущества реализации адаптивных фильтров в частотной области. Во-первых, по сравнению с подходами, в которых производятся преобразования во временной области, можно значительно уменьшить число вычислений, необходимых для обработки фиксированного количества данных. Это уменьшение наиболее полно достигается путем замены свертки на произведение трансформант (результатов преобразования Фурье), как это делается в «быстрой» свертке. Во-вторых, по сравнению с алгоритмов простого убывания градиента здесь можно улучшить свойства сходимости адаптивного процесса.

В алгоритмах убывания градиента весовые коэффициенты сходятся к своему оптимальному значению, представляющему сумму экспоненциальных функций, каждая из которых связана с исходным типом адаптивного процесса. Постоянные времени процессов этих типов обратно пропорциональны характеристическим числам входной автокорреляционной матрицы. Среднеквадратичная ошибка также уменьшается по закону суммы экспоненциальных функций, постоянные времени которых зависят от характеристических чисел. Для случая фильтров КИХ – типа с достаточно протяженной временной областью,  в которой выполняются преобразования, характеристические числа входной автокорреляционной матрицы приблизительно задаются равноотстающими выборками входного энергетического спектра [284]. Эвристическая интерпретация этого результата заключается в том, что типы колебаний, связанные с областями спектра,  имеющими малую энергию, сходятся медленнее, чем типы колебаний, связанные с областями спектра, имеющими большую энергию. Значительное изменение входной спектральной функции по частоте приводит к сильно различающимся характеристическим числам  и, следовательно, к сильно различающимся постоянным времени; некоторые из них могут быть очень большими. Частотные методы, хотя они основаны на способе ускоренного спуска, можно легко модифицировать, чтобы сделать возможной более однородную сходимость различных типов колебаний адаптивного процесса и улучшить тем самым скорость сходимости более медленных типов колебаний.

Использование частотной области приводит к блочной обработке, при которой блок входных данных обрабатывается одновременно, и, в результате, получается блок выходных данных. Во время блочной обработки требуется, чтобы коэффициенты фильтра оставались фиксированными. Этот процесс отличается от обычных методов адаптивной обработки во временной области, где коэффициенты фильтра могут изменяться со скоростью дискретизации входного сигнала. Хотя коэффициенты фильтра при обработке в частотной области корректируются реже, их можно с большей точностью подстраивать при каждой корректировке, так как градиент легче оценить с помощью полного блока данных. В результате, адаптация в частотной области может происходить столь же быстро и точно, как и во временной области, но с одним исключением. Когда входная автокорреляционная матрица имеет сильно различающиеся характеристические числа, согласно условиям устойчивости, устанавливается верхний предел скорости адаптации, который может быть значительно ниже соответствующего предела при обработке во временной области. Облегчить эту проблему могут модифицированные градиентные методы, эффективно уменьшающие разброс характеристических чисел. Этот метод подробно обсуждается в разд. 6.6.

В дальнейшем, верхние индексы будут обозначать переменные в частотной области, нижние  индексы – переменные во временной области, а жирным шрифтом будут обозначаться векторы или матрицы. Звездочка – означает комплексно сопряженное транспонирование. Определим матрицу  как симметричную  матрицу,  - м элементом которой будет, где - корень квадратный из  -1. Когда матрица производит операции над вектор - столбцом длиной , в результате получаем вектор – столбец, содержащий ДПФ исходного вектора. Аналогично  - обратный ДПФ – оператор. Можно показать, что , а - унитарное преобразование. Если  - циркулянтная  матрица, то  - диагональная матрица, элементы которой представляют собой ДПФ первого столбца циркуляционной матрицы [130].