6.5. Адаптивный фильтр-преобразователь вида объединения каналов

Преобразователи вида объединения каналов – трансмультиплексоры  - используются в системах дальней связи для эффективного взаимного преобразования сигналов в системах с временным разделением каналов (ВРК) и с частотным разделением каналов (ЧРК) [26]. Некоторые методы, применяемые для преобразования вида объединения каналов, можно использовать в качестве эффективного способа реализации адаптивного фильтра [61]. Для наших целей действие трансмультиплексора показано на рис. 6.6, а (действительная реализация будет рассмотрена позднее). Входной сигнал трансмультиплексора или преобразователя вида объединения каналов (ПК), фильтруется набором из  сложных полосовых фильтров, причем каждый из них имеет строго нулевой отклик за пределами полосы пропускания, где  - частота дискретизации входного сигнала. Полосы пропускания смежных по частоте фильтров могут перекрываться, как показано на рис. 6.7. Выходные сигналы фильтра легко сдвинуть по частоте к полосе частот модулирующих сигналов, а их выборки объединить без потери информации группами по . Этот процесс аналогичен преобразованию сигналов из системы с ЧРК в систему ВРК.

а.

Рис. 6.6. Модель принципа действия преобразователя вида объединения каналов (а); модель принципа действия обратного преобразователя вида объединения каналов (б).

б.

Рис. 6.6.  (продолжение).

На рис. 6.6, б показан принцип действия обратного трансмультиплексора (аналогичный преобразованию ВРК в ЧРК). Каждый входной сигнал  канала интерполируется для увеличения частоты дискретизации в  раз, а затем обрабатывается с помощью другого набора полосовых фильтров. Затем производится суммирование выходных сигналов полосовых фильтров.

Рис. 6.7. Возможный вид квадратов частотных характеристик функции передачи для набора полосовых фильтров

Чтобы полностью обратить процессы, описываемые  рис. 6.6, полосовые фильтры должны удовлетворять условию

              (6.90)

Основная фильтрация может выполняться с помощью трансмультиплексора посредством соответствующего взвешивания выходных сигналов ПК, которые затем обрабатываются с помощью обратного ПК. Если - й выходной сигнал ПК взвешивается с помощью , в результате получается полная передаточная функция (за исключением задержки)

                       (6.91)

Поскольку могут перекрываться характеристики только смежных полосовых фильтров, довольно просто рассчитать многие типы фиксированных фильтров, если задать необходимое усиление для каждой частотной выборки. Однако основное преимущество данного подхода заключается именно в адаптивной фильтрации.

На рис. 6.8 изображена блок-схема адаптивного фильтра, в которой используются преобразователи объединения каналов [61]. Для - й выборки спектра весовой коэффициент фильтра адаптируется таким образом, чтобы с помощью алгоритма МНК минимизировать среднеквадратичную ошибку выходного сигнала на этой частоте  относительно искомого отклика для этого интервала :

            (6.92)

где

                       (6.93)

и

                         (6.94)

Свойства сходимости каждого канала такие же, как и у МНК – фильтра с одним отводом. Для случая статистически стационарных входных сигналов и достаточно малого  среднее значение -го весового коэффициента будет сходиться к величине

             (6.95)

Вообще говоря, этот весовой коэффициент не является оптимальным коэффициентом, устанавливаемым для минимизации среднеквадратичной ошибки  относительно , до тех пор, пока полосовые фильтры имеют перекрытия частотных характеристик  и коэффициент усиления в пределах полосы пропускания не равен единице. Но даже в таком случае для многих моделей можно получить вполне приемлемые результаты, поскольку перекрытие ограничивается смежными выборками по частоте. Несколько экспериментов показали, что полученная передаточная функция практически неотличима от оптимальной в том случае, когда оптимальная передаточная функция незначительно изменяется в пределах ширины частотной дискреты. Даже если оптимальная передаточная функция содержала узкие провалы, с помощью адаптивного фильтра достигалась близкая к оптимальной обработка. Чтобы приблизиться к оптимальной рабочей характеристике как можно ближе, необходимо уменьшить величину перекрытия частотных характеристик смежных полосовых фильтров, правда, при этом возрастает сложность преобразователей вида объединения каналов (трансмультиплексоров).  

Рис. 6.8. Адаптивный фильтр на базе преобразователя вида объединения каналов (ПК)

Оптимальные весовые коэффициенты можно определить следующим образом. Пусть  - вектор, содержащий весовые коэффициенты, и пусть  - вектор, - й элемент которого равен . Тогда, в соответствии с выражением (6.91) передаточная функция фильтра будет иметь вид

                      (6.96)

Мы хотим выбрать  таким образом, чтобы минимизировать

       (6.97)

Раскрывая выражение (6.97) и приравнивая его градиент по  нулю, в результате получаем

   (6.98а)

                 (6.98б)

Можно записать - й элемент второго из вышеприведенных интегралов в виде

              (6.99)

Если полосовые фильтры развязаны по частоте и в пределах полосы пропускания коэффициент усиления равен единице (и нулю на всех остальных частотах), матрица  будет диагональной, а ее - й элемент задается выражением . Следовательно, при этих допущениях передаточная функция  предложенного адаптивного фильтра сходится к оптимальной. Однако, такие допущения в практических системах не будут строго выполняться и, вообще говоря, будет иметь место некоторое ухудшение рабочей характеристики по сравнению с оптимальной.

Преобразователь вида объединения каналов (рис. 6.6, а) можно реализовать следующим образом [59].

Пусть  - импульсная характеристика длиной  выборок фильтра нижних частот, передаточная функция которого  удовлетворяет условиям:

       (6.100)

и

      (6.101)

Полосовой фильтр , показанный на рис. 6.6, а, превратится тогда в , т. е. в фильтр нижних частот со сдвигом по частоте. Будет удобно считать степенью числа 2, а  для некоторого малого положительного целого числа  . Чем больше величина , тем меньше может быть перекрытие частотных характеристик смежных полосовых фильтров. Формы характеристик полосовых фильтров (рис. 6.7) были  получены для . На рис. 6.9 показана реализация преобразователя вида объединения каналов для . Входной сигнал подается на два набора фильтров тремя отводами, весовые коэффициенты которых получают из импульсной характеристики исходного фильтра нижних частот. Когда верхний переключатель достигает верхнего из набора фильтров, тогда вычисляется - мерное обратное БПФ для выходных сигналов набора фильтров. Когда нижний переключатель достигает середины набора фильтров, вычисляется второе обратное БПФ. Выходные сигналы обратного БПФ разносятся во времени для того, чтобы получить частоту дискретизации выходного сигнала каждого канала, которая в  раз меньше частоты дискретизации входного сигнала.

Обратный преобразователь вида объединения каналов можно реализовать, как показано на рис. 6.10 для случая . Входные сигналы каналов обрабатываются с помощью обратного БПФ, а выходные сигналы  поступают в банк из  фильтров с  отводами, весовые коэффициенты которых вновь определяются с помощью импульсной характеристики исходного фильтра нижних частот. Выходной переключатель поочередно подключает  фильтров, начиная сверху. В этот момент времени снова вычисляется обратное БПФ и корректируются  все  фильтры.  Переключатель продолжает поочередно подключать выходы фильтров до тех пор, пока не подходит момент возврата к верхнему фильтру, и в этот момент времени надо вычислить второе обратное БПФ. Таким образом, для каждых выборок  полученного выходного сигнала вычисляются два БПФ. Вследствие этого для каждого фильтра необходимо вычислить лишь выходные сигналы всех других фильтров.

Теперь можно рассчитать число умножений, необходимых для вычисления  выборок вещественного выходного сигнала адаптивного фильтра-преобразователя вида объединения каналов. Входной сигнал, искомый отклик и выходные сигналы преобразователей вида объединения каналов требуют выполнения по два - мерных БПФ. Как было установлено ранее, БПФ для  выборок можно вычислить с помощью БПФ для  выборок и  комплексных умножений. Следовательно, для выполнения двух БПФ необходимо общее количество комплексных умножений, равное . Поскольку весовые коэффициенты должны быть симметричными, необходимо использовать лишь половину из них. Тогда для взвешивания и корректировки весовых коэффициентов потребуется комплексных умножений на обрабатываемых выборок. Для вычисления входных сигналов преобразователя вида объединения каналов и выходных сигналов фильтра требуется по  вещественных умножений  для каждого входного сигнала, искомого отклика и выходного сигнала. Масштабирование входных и выходных сигналов может производиться с помощью коэффициентов фильтра-преобразователя вида объединения каналов.

Рис. 6.9. Реализация преобразователя вида объединения каналов.

Рис. 6.10. Реализация обратного преобразователя вида объединения каналов.

Допущение о том, что одно комплексное умножение эквивалентно четырем вещественным умножениям, дает   вещественных умножений для  обрабатываемых выборок сигнала. Эту цифру можно сравнить с числом умножений, необходимых для МНК - адаптивного фильтра с отводами:

                    (6.102)

В следующей таблице это отношение рассчитано для . Количество вычислений незначительно больше, чем для БОБМНК.

 

16	1,4
32	0,78
64	0,44
256	0,13
1024	0,04