6.6. Улучшение скорости сходимости

В данном разделе обсуждаются методы изменения скорости сходимости различных мод адаптивного процесса. Вообще говоря, моды адаптивного процесса сходятся с различными скоростями, причем скорость каждой моды определяется соответствующим характеристическим числом автокорреляционной матрицы входного сигнала. Характеристические числа и, следовательно, скорости сходимости могут существенно различаться, если спектральная функция входного сигнала резко меняется в зависимости от частоты. При сохранении  устойчивости самых быстросходящихся мод, скорости сходимости некоторых других мод могут оказаться очень малыми, и в результате отслеживание не стационарностей входного сигнала станет невозможным. Вообще говоря, было бы желательно сделать скорости всех мод более одинаковыми.

Проблема скорости сходимости представляет собой источник трудностей, особенно  в случае блоков выборок сигналов, обрабатываемых в частотной области с помощью  адаптивных алгоритмов, обсуждавшихся в данной главе. В этом случае, даже если с помощью усреднения сигналов по всему блоку можно получить очень хорошую оценку градиента, весовые коэффициенты фильтра корректируются всего лишь один раз для каждого блока, причем корректировки должны быть достаточно малыми по величине приращениями, чтобы обеспечить устойчивость адаптивного процесса. Например, при использовании алгоритма БМНК для блоков из  выборок, величина  для получения устойчивости должна выбираться меньшей ; при корректировке по каждой выборке необходимо, чтобы величина  была лишь меньше . Выбор такой скорости адаптации, при которой удовлетворяется условие предела устойчивости  при блочной обработке, не сложен  в том случае, когда характеристические числа почти равны между собой, как обсуждалось в разд. 6.3,  поскольку максимальное значение  определялось бы, в большей степени,  не устойчивостью, а приемлемой величиной расстройки. Однако, когда характеристические числа сильно различаются, для обеспечения устойчивости требуется, чтобы адаптация происходила гораздо медленнее, чем это необходимо для получения приемлемой рабочей характеристики.

Как в случае адаптивного преобразователя вида объединения каналов, так и в случае адаптивного фильтра с круговой сверткой, описанного в разд.6.2, весовые коэффициенты адаптируются независимо друг от друга, причем каждый весовой коэффициент оказывается связанным с одной модой адаптивного процесса. Поскольку моды управляемы, легко изменить их скорости сходимости. Так как каждый весовой коэффициент соответствует МНК – адаптивному фильтру с одной ветвью, то, считая входные  сигналы стационарными, найдем, что время сходимости - го весового коэффициента обратно пропорционально , где  - мощность входного сигнала, оцениваемая с помощью данного весового коэффициента ( - также - е характеристическое число автокорреляционной матрицы входного сигнала). Чтобы добиться одинаковой скорости сходимости для всех мод, можно сделать  различным для каждого весового коэффициента, т. е.

             (6.103)

где  - оценка мощности входного сигнала, получаемая с помощью - го весового коэффициента. Если - хорошие оценки мощностей, то все весовые коэффициенты сходятся с одинаковой скоростью,  с постоянной времени, равной:

                   (6.104)

Тогда, для адаптивного фильтра с круговой сверткой расстройка для  весовых коэффициентов была бы равна:

              (6.105)

Такие свойства сходимости были бы получены в стационарной среде распространения и при хороших оценках мощностей, находящихся в нашем распоряжении в начале адаптации. Если среда распространения не стационарна, или если мощность, оцениваемая каждым весовым коэффициентом, неизвестна, можно воспользоваться рекурсивной корректировкой оценок мощности. Простое рекурсивное выражение имеет вид:

             (6.106)

где  - входной сигнал - го весового коэффициента  в момент времени , а  выбирается в интервале между нулем и единицей. Это соответствует использованию экспоненциально взвешенного среднего значения возведенных в квадрат величин входного сигнала:

                (6.107)

Тогда - й весовой коэффициент адаптируется в соответствии с формулой:

               (6.108)

Особенно удачным выбором для  является значение, равное , поскольку при этом весовые коэффициенты в каждый момент времени выбираются такими, чтобы минимизировать экспоненциально взвешенное среднее значение среднеквадратичной ошибки [94], задаваемой в виде:

                  (6.109)

Следует отметить, что когда  изменяется во времени (например, вследствие нестационарности или вследствие переходных процессов при оценке мощности, происходящих в момент начала адаптационного процесса), сходимость не является экспоненциальной функцией, как в случае алгоритмов, основанных на убывании градиента, из-за того, что оценка градиента в формуле корректировки весовых коэффициентов была модифицирована путем умножения на различные изменяющиеся во времени значения .

В случае стационарных входных сигналов весовые коэффициенты сходятся в среднем к одному и тому же установившемуся значению с идентичными значениями   для всех весовых коэффициентов (за исключением случая, когда весовые коэффициенты ограничены, что обсуждается ниже), если все моды являются устойчивыми. Устойчивость обеспечивается выбором , поскольку тогда весовые коэффициенты всегда минимизируют взвешенное среднее значение среднеквадратичной ошибки.

Чтобы понять влияние оценок мощности, корректируемых с помощью рекурсивного метода, на сходимость адаптивного фильтра, полезно рассмотреть влияние ступенчатого изменения мощности входного сигнала на один из весовых коэффициентов. При ступенчатом увеличении мощности входного сигнала - й моды эффективное произведение  вначале велико, поскольку оценка мощности близка к мощности входного сигнала до ее увеличения. Затем произведение  уменьшается до значения, соответствующего установившемуся режиму, так как оценка мощности близка к мощности входного сигнала после каждого ступенчатого увеличения. Следовательно, отклик адаптивного фильтра является наибыстрейшим сразу же после каждой ступеньки. При ступенчатом уменьшении мощности изменение происходит в обратном направлении: произведение  первоначально имеет малую величину, а затем постепенно возрастает.

Для случая адаптивного фильтра типа БОБМНК адаптация различных весовых  коэффициентов  происходит взаимосвязано, поскольку сигнал ошибки, используемый для адаптации каждого весового коэффициента, зависит от всех весовых коэффициентов. Однако мы увидим, что адаптация различных весовых коэффициентов становится приближенно независимой, если имеется достаточно большое число весовых коэффициентов и если входной сигнал является стационарным и не содержит периодических составляющих. Это позволяет установить постоянные времени адаптивного процесса примерно равными желаемыми значениями, путем выбора различных для каждого весового коэффициента, как обсуждалось ранее.

Коэффициенты ДПФ стационарного случайного процесса являются, по существу, не коррелированными, при условии, что энергетический спектр процесса медленно изменяется в пределах ширины каждого элемента дискретизации ДПФ [144]. Если периодические составляющие отсутствуют (включая постоянную составляющую), это условие можно удовлетворить, выбирая достаточно большую размерность ДПФ, которая для случая алгоритма БОБМНК соответствует числу весовых коэффициентов. (Для периодического сигнала коэффициенты ДПФ становятся не коррелированными только в том случае, если размерность ДПФ кратна периоду.) Если коэффициенты ДПФ не коррелированы, то автокорреляционная матрица  для частотной области, задаваемая выражением (6.63), будет диагональной. Это происходит вследствие того, что элемент с номером  матрицы  имеет вид:

      (6.110) 

где  - -й коэффициент ДПФ  - го блока входных данных. Диагональность матрицы   означает, что математические ожидания весовых коэффициентов при обработке сигналов в частотной области во время адаптации статистически не связаны, причем характеристические числа матрицы  определяются ее диагональными элементами, а - я постоянная времени . Машинное моделирование показало, что алгоритм БОБМНК при различном значении  для каждого весового коэффициента,  определяемом выражениями (6.103) и (6.106), сходится быстрее, чем алгоритм МНК для случая большого разброса характеристических чисел [215]  (см. также рис. 7.27).

В случае БМНК – адаптивного фильтра вторая половина выражения для оценки градиента во временной области приравнивается нулю, чтобы обеспечить нулевые значения половины весовых коэффициентов во временной области. Обсужденную выше модификацию градиента можно применить после того, как налагаемые на градиент ограничения или установившиеся весовые коэффициенты будут смещены относительно своих оптимальных величин. Градиент (и, следовательно, скорость сходимости) можно без смещения установившегося решения модифицировать следующим образом. Напомним, что БМНК -  точная реализация блочного алгоритма МНК. Чтобы точно уравнять скорости сходимости, необходимо умножить  из уравнения (6.30) или (6.40) на матрицу, обратную автокорреляционной матрице  размером  для временной области. Если коэффициенты ДПФ - мерного входного сигнала фильтра по существу не коррелированы, то матрица   существенно циркулянтна [252]. Матрица, обратная циркулянтной матрице, также является циркулянтной. Следовательно, необходимо умножить   на циркулянтную матрицу, которая приблизительно равна  ; это легче всего выполнить в частотной области. Рассчитывается  - мерное ДПФ для  , и его  - й элемент делится на оценку мощности, даваемую - м коэффициентом - мерного ДПФ для входного сигнала фильтра. Затем вычисляется обратное  - мерное ДПФ. Полученный результат дополняется  нулями, выполняется  - мерное ДПФ и результат используется для корректировки весовых коэффициентов в частотной области. Для выполнения этих операций требуется значительный объем дополнительных вычислений. В работе [257] предложен более простой подход к модификации градиента в частотной области перед наложением ограничений. Хотя это приводит к тому, что полученное после сходимости решение для весовых коэффициентов будет смещенным, однако это смещение будет незначительным, по крайней мере для некоторых вариантов.

Для алгоритмов коррекции канала, рассмотренных в разд. 6.4, также требуется, чтобы на градиент были наложены ограничения. Следовательно, замечания по улучшению скорости сходимости аналогичны приведенным для БМНК.

На рис. 6.11 сравниваются скорости сходимости для некоторых адаптивных фильтров, описанных в данной главе, при  .  Искомым откликом в этих экспериментах была последовательность выборок белого шума единичной мощности. Входной сигнал адаптивного фильтра  был получен путем пропускания этой последовательности выборок белого шума через цифровой фильтр с тремя ветвями, импульсные отклики которого равны: 0,33; 0,63 и 0,33. Для каждого элемента дискретизации выбирались различные коэффициенты , в соответствии с выражениями (6.103) и (6.106) при  и . Оценки мощности в (6.106) и весовые коэффициенты фильтра первоначально приравнивались нулю. На рис. 6.11 показана среднеквадратичная ошибка выходного сигнала фильтра относительно искомого отклика, вычисленная для следующих друг за другом блоков из 256 выборок. В соответствии с этим рисунком для ПК и адаптивных фильтров с круговой сверткой наблюдается быстрая сходимость, хотя рабочие характеристики последних для установившегося режима хуже, поскольку эти фильтры должны выполнять круговую свертку. В случае фильтра на основе БОБМНК достигается хорошая рабочая характеристика для установившегося режима, однако сходимость происходит медленнее, поскольку весовые коэффициенты алгоритма БОБМНК не будут строго развязанными. БМНК – адаптивный фильтр (для него не показаны скорости сходимости на рис. 6.11) с модификацией градиента перед наложением ограничений, как показано в работе [257], имеет свойства сходимости, почти идентичные свойствам сходимости  алгоритма БОБМНК.

Рис. 6.11 Сравнение скоростей сходимости нескольких адаптивных алгоритмов, выполняющих обработку в частотной области.

Кратко упомянем еще один метод обработки сигналов в частотной области, предложенный для улучшения скорости адаптивной сходимости, но не приводящий к уменьшению объема вычислений по сравнению с обработкой сигналов во временной области.  Нараян и др. и Битмид и Андерсон с помощью скользящего ДПФ разлагают входной сигнал на частотные составляющие, используя набор из  - полосовых фильтров; для коррекции каждого нового входного импульса ДПФ применяется рекурсивный метод. Чтобы раздельно регулировать скорость сходимости для каждого элемента дискретизации, можно использовать различные значения . Число выходных сигналов полосового фильтра не уменьшается, поэтому объем вычислений, необходимых для обработки фиксированного объема данных, не сокращается по сравнению с обработкой во временной области, хотя время сходимости может уменьшиться. Если число выходных сигналов полосового фильтра уменьшается в  раз, то это приводит к адаптивному фильтру с круговой сверткой, рассмотренному в разд. 6.2.