Приложение П6.2. Общий метод получения начальных оценок параметров смешанного процесса авторегрессии – скользящего среднего

В разд. 6.3 было показано, как получить начальные оценки для параметров простых моделей АРСС. В частности, в конце книги в сборнике таблиц и диаграмм приведены диаграммы ,  и , позволяющие быстро получить начальные оценки для процессов ,  и . В настоящем приложении будет описан пригодный для программирования общий метод получения начальных оценок процесса  . Соответствующая программа для ЭВМ описана под заголовком «Программа 2» в сборнике программ в конце этой книги.

В общем случае вычисление начальных оценок процесса  основано на первых  автоковариациях  от  и проводится в 3 этапа.

1) Параметры авторегрессии  оцениваются по автоковариациям .

2) На базе оценок , найденных в (1), вычисляются первые  автоковариации  полученного ряда

.

3) Наконец, автоковариации  используются при итеративном расчете начальных оценок параметров скользящего среднего  и остаточной дисперсии .

Начальные оценки параметров авторегрессии. Пользуясь результатом (3.4.3), можно получить начальные оценки параметров авторегрессии, решив  линейных уравнений

                                                           (П6.2.1)

Автоковариации найденного процесса скользящего среднего. Обозначим теперь  и будем анализировать этот процесс как процесс скользящего среднего

.                                                                                                   (П6.2.2)

Прежде всего необходимо выразить автоковариации  процесса  через автоковариации  процесса . Можно показать, что

,                       (П6.2.3)

где

Начальные оценки параметров скользящего среднего. Пользуясь оценками автоковариации  можно получить начальные оценки параметров скользящего среднего в найденном процессе (П6.2.2) при помощи какого-либо одного из двух итеративных процессов.

1. Линейно-сходящийся процесс. Из выражений

для автоковариационной функции процесса , приведенных в разд. 3.3.2, можно найти оценки параметров  в том точно порядке, как здесь указано, при помощи итераций

                                                   (П6.2.4)

с условием, что . Параметры  приравниваются нулю в начале итеративной процедуры; значения  и , используемые в любом цикле вычисления, — это последние из доступных оценок этих величин. Например, в случае  уравнения (П6.2.4) имеют вид

2. Квадратически сходящийся процесс. Алгоритм Ньютона-Рафсона, обладающий более быстрой сходимостью, чем метод (1), был предложен Вилсоном [55]. Обозначим  где

                                                           (П6.2.5)

Тогда, если  — оценка , полученная в результате -й итерации, новые значения в результате -й итерации будут получены из формулы

,                                                                                                                   (П6.2.6)

где

и

.

Имея значения  для каждой итерации, можно получить значения параметров из (П6.2.5).

Пример. Рассмотрим оценивание  и  в модели АРСС

,

используя значения , соответствующие процессу с  и . Оценка  получена подстановкой  в (П6.2.1), в результате которой

,

так что . Отсюда, пользуясь (П6.2.3), находим, что две первые ковариации ряда

равны

Таблица П6.1. Сходимость предварительных оценок  и  для процесса СС (1)

Итерация	Метод (1)		Метод (2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8	— 1,250 1,077 1,029 1,011 1,004 1,002 1,001 1,000	0,000 0,400 0,464 0,486 0,494 0,498 0,499 0,500 0,500	1,250 2,250 1,210 1,012 1,000 — — — —	0,0000 0,667 0,545 0,503 0,500 — — — —

Подставляя эти значения в (П6.2.4), находим формулы, на которых основан итеративный процесс (1):

Аналогично, подставляя их в  (П6.2.6), получаем формулы, на которых основан итеративный процесс (2):

,

где

и

.

Дисперсия  и  могут быть теперь вычислены по формулам .

Табл. П6.1 показывает, как сходятся итерации методами (1) и (2). Программа 2 в сборнике программ в конце книги может быть использована для вычисления начальных оценок параметров любого процесса .