Приложение П6.3. Прямой и возратный процессы ПСС порядка (0, 1, 1)

В разд. 6.4 мы встретились с прямой и возвратной моделями стационарных процессов. Интересно также рассмотреть соответствующие двойственные модели нестационарных процессов. В качестве примера рассмотрим процесс ПСС. Пусть  и  — последовательности случайного шума с дисперсией . Процессы скользящего среднего

имеют одинаковые автоковариации. После введения обозначения  можно представить возвратный процесс как

.

Положим, что фактически делаются наблюдения  первые разности которых образуют , так что

.

Тогда можно выразить модель через  в одной из двух форм следующим образом:

где  - возвратное экспоненциально взвешенное среднее, использующее значения  до времени . Следовательно,

где  - прямое экспоненциально взвешенное среднее, использующее значения  после времени . Следовательно,

Положим, что имеются значения  в обе стороны от текущего момента , ковариации разностей которых удовлетворяют (6.4.3).

Рисунок П6.2. Прямые и обратные экспоненциально взвешенные скользящие

средние (ЭВСС): 1 — ряд, генерированный процессом , 2 — возвратные ЭВСС, 3 — прямые ЭВСС.

Из этого ряда можно построить два множества случайных величин

 и ,

где , например, — разность между  и  возвратным ЭВСС, вычисленным по предыдущим значениям , в то время как  — разность между  и  прямым ЭВСС, вычисленным по значениям .

Связь между  и . Для получения связи между  и  можно написать

.                                                (П6.3.1)

Наоборот,

,                                                                                      (П6.3.2)

где  и  — экспоненциально взвешенные скользящие средние (ЭВСС), определенные ранее.

Легко показать, например, что если  — это последовательность независимых случайных величин с нулевым средним значением и дисперсией , то , генерируемые по ним согласно (П6.3.2), обладают теми же свойствами.

Хотя между собой  независимы,  и  взаимно коррелированы. Используя (П6.3.1), находим

Возникающая ситуация иллюстрируется рис. П6.2. Вверху рисунка показана часть наблюдений процесса с , соответствующие возвратные ЭВСС и получающиеся . Ниже показаны тот же ряд с прямыми ЭВСС и получающиеся . Внизу показана взаимная ковариационная функция  процессов  и .