7.2.4. Общий алгоритм наименьших квадратов для условной модели

При анализе длинных рядов мы нередко используем приближение, заключающееся в приравнивании начальных значений , а следовательно, и  их безусловным математическим ожиданиям, т. е. нулю, и затем в непосредственном использовании прямой рекуррентной формулы. Так, в предыдущем примере можно использовать уравнения

В результате в ряды  и  вносится переходный процесс, Для ряда  этот процесс затухает несколько медленнее, так как  зависит от . В качестве иллюстрации этим способом были вычислены значения  и  для рассмотренного примера. Оказалось, что, хотя в начале имеются расхождения, начиная с  для  и с  для  два знака после запятой совпадают. В некоторых примерах, где имеется большой объем данных (скажем, 200 и более наблюдений) за счет некоторой потери информации (отбрасывания примерно 20 первых вычисленных значений) можно добиться очень высокой точности.

Если мы примем описанное выше приближение, то придем к интересному общему алгоритму для этой условной модели. Общая модель может быть представлена в виде

,

где  и

Таблица 7.10. Пример рекуррентного расчета производных для данных ряда

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,25 —0,28 —0,44 —0,42 0,79 0,20 0,00 0,60 0,00 -0,10	0,22 0,24 —0,02 —0,23 —0,33 0,23 0,22 0,11 0,35 -0,18	—0,43 —0,47 0,04 0,46 0,65 —0,46 —0,43 —0,22 —0,71 —0,35 -0,08	0,12 0,60 0,73 —0,30 —0,10 0	0,06 0,30 0,36 —0,15 —0,05 0	—0,49 —0,18 0,24 0,88 —0,25 —0,10

Если начальные приближения для параметров  равны , то

и

где

,                                                                             (7.2.9)

.                                                                           (7.2.10)

Значения  и  можно вычислять рекуррентным образом, положив начальные значения  и  равными нулю, а именно

,                                          (7.2.11)

,                                        (7.2.12)

.                                                                                                        (7.2.13)

В соответствии с (7.2.1) приближенное уравнение линейной регрессии принимает вид

                                                                           (7.2.15)

Получаемые отсюда поправки — это коэффициенты регрессии  на  и . Прибавляй поправки к приближениям , получаем «вторые приближения» и заменяем ими первые во второй итерации, в которой вновь вычисляются значения ,  и  до тех пор, пока результаты не начнут сходиться.

Другой вариант алгоритма. Выражение (7.2.15) можно также представить в виде

т. е.

,                               (7.2.16)

 что является другой трактовкой этого алгоритма.

Приложение к процессу ПСС. Чтобы проиллюстрировать расчеты для приближения с помощью условной модели, рассмотрим оценки наименьших квадратов для  ряда , основанные на модели :

с

Расчет для начальных значений  и  приведен в табл. 7.11.

Таблица 7.11. Нелинейная оценка , и  для процесса ПСС

1 2 3 4 5 6 7 8 9	26,6 27,0 27,1 27,2 27,3 26,9 26,4 26,0 25,8	0,4 0,1 0,1 0,1 -0,4 —0,5 -0,4 -0,2	— —0,3 0,0 0,0 —0,5 —0,1 0,1 0,2	0 0 —0,300 —0,030 —0,033 —0,533 —0,156 0,039 0,189	0 0 0 0,300 0,060 0,069 0,546 0,218 0,038	0 0 0 0 0,300 0,060 0,069 0,546 0,218

Первые поправки  и  были найдены «регрессией»  на  и , затем процедура повторялась до тех пор, пока не была достигнута сходимость. Результаты итераций показаны в табл. 7.12; использовались начальные значения  и .