7.2.6. Информационные матрицы при больших выборках и оценки ковариаций

Обозначим через матрицу размером из значений и , определенных в (7.2.13) и (7.2.14), в случае, когда элементы — истинные значения параметров; пусть размер выборки достаточно велик, так что можно пренебречь концевыми эффектами. Тогда информационная матрица для смешанной модели АРСС будет

(7.2.18)

где и — автоковариации и и — взаимные ковариации, определенные как

Выборочная ковариационная матрица для оценок максимального правдоподобия в случае больших выборок может быть получена из соотношения

Оценки и, следовательно, можно получить, вычисляя и при и опуская знак математического ожидания в (7.2.17) или подстановкой стандартных выборочных оценок автокорреляций и взаимных корреляций в (7.2.18). Теоретические выражения для больших выборок можно получить, используя тот факт, что когда элементы равны истинным значениям параметров, из уравнений (7.2.13) и (7.2.14) следует, что производные и являются процессами авторегрессии:

Отсюда автоковариации, присутствующие в (7.2.18), соответствуют чистым процессам авторегрессии, а взаимные ковариации обратны по знаку взаимным ковариациям между этими процессами, генерируемыми теми же .

Проиллюстрируем этот результат на нескольких примерах.

Ковариационная матрица оценок параметров для процессов и . Пусть — автоковариационная матрица размера для последовательных наблюдений процесса с параметрами . Пользуясь (7.2.18), находим ковариационную матрицу оценок размера

. (7.2.19)

Пусть — автоковариационная матрица размера последовательных наблюдений процесса с параметрами . Тогда, пользуясь (7.2.18), получаем ковариационную матрицу оценок размера .

. (7.2.20)

Иногда полезно параметризовать процесс АРСС через корни многочленов и . В этом случае ковариационная матрица оценок параметров имеет особенно простую форму.

Ковариация корней многочленов, соответствующих процессу АРСС. Рассмотрим процесс АРСС , параметризованный через корни , (они предполагаются действительными), так что