Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


7.2.6. Информационные матрицы при больших выборках и оценки ковариаций

Обозначим через  матрицу размером  из значений  и , определенных в (7.2.13) и (7.2.14), в случае, когда элементы  — истинные значения параметров; пусть размер выборки  достаточно велик, так что можно пренебречь концевыми эффектами. Тогда информационная матрица для смешанной модели АРСС будет

            (7.2.18)

где  и  — автоковариации  и  и  — взаимные ковариации, определенные как

.

Выборочная ковариационная матрица для оценок максимального правдоподобия в случае больших выборок может быть получена из соотношения

.

Оценки  и, следовательно, можно получить, вычисляя  и  при  и опуская знак математического ожидания в (7.2.17) или подстановкой стандартных выборочных оценок автокорреляций и взаимных корреляций в (7.2.18). Теоретические выражения для больших выборок можно получить, используя тот факт, что когда элементы  равны истинным значениям параметров, из уравнений (7.2.13) и (7.2.14) следует, что производные  и  являются процессами авторегрессии:

.

Отсюда автоковариации, присутствующие в (7.2.18), соответствуют чистым процессам авторегрессии, а взаимные ковариации обратны по знаку взаимным ковариациям между этими процессами, генерируемыми теми же .

Проиллюстрируем этот результат на нескольких примерах.

 Ковариационная матрица оценок параметров для процессов  и . Пусть  — автоковариационная матрица размера  для  последовательных наблюдений процесса  с параметрами . Пользуясь (7.2.18), находим ковариационную матрицу оценок  размера

.                         (7.2.19)

Пусть  — автоковариационная матрица размера   последовательных наблюдений процесса  с параметрами . Тогда, пользуясь (7.2.18), получаем ковариационную матрицу оценок   размера .

.                         (7.2.20)

Иногда полезно параметризовать процесс АРСС через корни многочленов  и . В этом случае ковариационная матрица оценок параметров имеет особенно простую форму.

Ковариация корней многочленов, соответствующих процессу АРСС. Рассмотрим процесс АРСС , параметризованный через корни ,  (они предполагаются действительными), так что

или

.

Производные  тогда имеют вид

Отсюда, пользуясь (7.2.18), получаем для больших выборок информационную матрицу для корней

   (7.2.21)

АР(2). В частности, для процесса авторегрессии второго порядка

,

              (7.2.22)

В точности аналогичные формулы можно получить для процесса скользящего среднего второго порядка.

APCC(1, 1). Таким же образом для процесса

,

и, подставив  и  в (7.2.21), получаем

                 (7.2.23)

Результаты для этих двух процессов иллюстрируют их двойственность, рассмотренную в приложении П7.5.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>