7.3.5. Избыточность параметров

Модель

идентична модели

,

в которой операторы авторегрессии и скользящего среднего умножены на один и тот же множитель . Значительные трудности в процедуре оценивания могут быть вызваны тем фактом, что подгоняется модель с избыточным (лишним) множителем. Поэтому требуется позаботиться о том, чтобы в модели не появлялись избыточные или почти избыточные множители. Например, общий множитель в модели

можно увидеть только после разложения левой части на множители

,

что приводит к

.

На практике трудности вызывает не только наличие одинаковых множителей в обеих частях уравнения, но и ситуация, когда имеются почти одинаковые множители. Например, пусть истинная модель была

.                       (7.3.15)

Если делается попытка подогнать эту модель, можно ожидать крайнюю нестабильность в оценках параметров из-за близости множителей  и  по разные стороны (7.3.15). В этой ситуации можно найти комбинации значений параметров, дающих близкие  и, следовательно, близкие значения правдоподобия; изменение значений параметра слева почти компенсируется соответствующим изменением параметра справа. Поверхность суммы квадратов в трехмерном пространстве параметров будет сходна с косоцилиндрической, и вместо четко определенного минимума будет найдена линия «почти наименьших квадратов».

С несколько иной точки зрения мы можем представить модель (7.3.15) в виде бесконечного оператора авторегрессии. Применяя необходимые разложения, находим

.

Итак, модель весьма аккуратно описывается как

.                                           (7.3.16)

Нестабильность оценок, полученных при попытке подогнать модель , возникает потому, что мы пытались подогнать три параметра в ситуации, где почти достаточно одного.

Предварительная идентификация как средство избежать избыточности параметров. Главная цель применения идентификационной процедуры перед подгонкой модели — избежать трудностей, возникающих из-за избыточности параметров, или, в более позитивном смысле, достичь экономичности параметризации. Так, в только что рассмотренном примере для временного ряда в несколько сотен наблюдений выборочная автокорреляционная функция по данным, генерируемым моделью (7.3.15), была бы неотличима от генерируемой простым процессом авторегрессии (7.3 16).

Это привело бы нас к подгонке процесса , в нормальной ситуации полностью адекватного наблюдениям. Только для временного ряда в несколько тысяч наблюдений может потребоваться более сложная модель, и имеющейся информации окажется достаточно для получения надежных оценок дополнительных параметров.

Избыточность процесса APCC(1,1). Простейший процесс, в котором возникает возможность прямого сокращения множителя, — это процесс .

.

В частности, если , то, каковы бы они ни были,

,

и это означает, что  генерируется белым шумом. Данные не содержат информации об общих параметрах, и в соответствии с (7.3.11)  и  имеют бесконечную дисперсию. Далее, при любых значениях  и  — константа на прямой , как это видно на карте рельефа суммы квадратов для ряда А, показанной на рис. 7.9. Для этих данных значения оценок наименьших квадратов  соответствуют точке, которая не слишком близка к прямой , и в оценке этих параметров трудностей не возникает.

Рисунок 7.9 Изолинии суммы квадратов для ряда А.

На практике, если принять рекомендуемую нами методику идентификации, трудностей, связанных с избыточностью, можно избежать. Процесс , у которого  почти равно , в нормальной ситуации будет идентифицирован как белый шум или, если различие заметно, как процесс  или  с одним небольшим коэффициентом. В итоге

1) следует избегать смешанных процессов, содержащих почти одинаковые множители, и помнить о трудностях, которые могут возникнуть, если такие множители имеются;

2) такие процессы будут исключаться автоматически, если разумно пользоваться процедурами идентификации и оценивания.