7.3.4. Разделение линейных и нелинейных компонент при оценивании

Иногда интересно провести анализ, в котором оценки параметров смешанной модели разделены на линейные и нелинейные части.  Рассмотрим общую смешанную модель, которую мы представили как

                                                   

или

,                                 (7.3.12)

,                                        

т.е.

.                                (7.3.13)

Для любого данного набора  величину  можно вычислить рекуррентно при помощи формулы (7.3.13), которую можно записать в виде

.

Расчет можно начать, положив неизвестные  равными нулю. Когда  вычислены, легко получить условные оценки . Это — выборочные параметры авторегрессии в линейной модели (7.3.12), которую можно представить в виде

.                                    (7.3.14)

Как уже объяснялось в разд. 7.3.1, оценки наименьших квадратов для параметров авторегрессии можно найти прямым решением простой системы линейных уравнений и приближенно при помощи уравнений Юла-Уокера. В простых случаях мы можем изучить поведение  и найти абсолютный минимум суммы квадратов вычислением этой суммы на сетке значений  и построением изолиний.

Пример, относящийся к ряду C. В соответствии с одним из вариантов пробной идентификации ряда , приведенным в табл. 6.4, этот ряд, возможно, генерируется моделью

с  и . Мы хотели изучить ситуацию оценивания по этим данным в случае более сложной модели

.

Следуя проведенным выше рассуждениям, можно трактовать этот процесс как комбинацию нелинейной модели

,

и линейной модели

.

Последовательность значений  вычислялась рекуррентным образом для каждого выбранного значения нелинейного параметра  внутри области обратимости. Пользуясь приближением Юла-Уокера, можно найти оценку  а также

.

Эта сумма квадратов была вычислена для сетки значений  и ; ее рельеф показан на рис. 7.8. Видно, что минимум расположен близко к точке , в которой .

Рисунок  7.8 Изолинии суммы , построенной над областью допустимых значений параметров .

Таким образом, подтверждено, что внутри всего класса моделей порядка  и ниже простейшая модель

обеспечивает хорошее описание наблюденного ряда.