7.4.4. Процессы скользящего среднего

Если  есть процесс проинтегрированного скользящего среднего порядка , то  является чистым процессом скользящего среднего порядка . В приложении П7.5 показано, что в этом случае множители  и  в (7.4.6), которые во всех случаях существенно менее важны, чем множитель с , для больших выборок взаимно сокращаются. Тогда, согласно (7.4.7), параметры  процесса  для  имеют апостериорное распределение

,                                     (7.4.20)

и в этом случае рельеф суммы квадратов для не слишком малых выборок практически совпадает с рельефом апостериорной плотности вероятности. Так как  не является линейной функцией  не является точно квадратичной функцией , но для больших выборок внутри изучаемой области обычно это приближенно верно. В таком случае имеем приближенно

,

где  и .

Таблица 7.15. Расчет приближенной апостериорной плотности  для ряда

1,300 1,275 1,250 1,225 1,200 1,175 1,150 1,125 1,100 1,075 1,050 1,025 1,000 0,975 0,950 0,925 0,900 0,900 0,875 0,850	4 33 212 1007 3597 9956 21159 34762 44473 44988 35835 22563 11277 4540 1457 372 76 76 12 2 Всего 236325	0,001 0,006 0,036 0,171 0,609 1,685 3,582 5,884 7,528 7,615 6,066 3,819 1,908 0,769 0,247 0,063 0,012 0,012 0,002 0,000 40,000

Отсюда, подставляя это выражение для  в (7.4.20) и используя экспоненциальное приближение, получаем

1) для больших выборок  приближенно распределено по многомерному нормальному закону ;

2) приближенная область НПВ определена формулой (7.4.18) или (7.4.19), если в них заменить  на  и  на .

Пример: апостериорное распределение  для процесса . В качестве примера в табл. 7.15 приведены вычисления приближенного апостериорного распределения плотности вероятности  по данным ряда . Во втором столбце таблицы приведены вычисленные ординаты  для значений  с шагом . Их сумма  равна 236325. Поделив ординаты на , получаем функцию апостериорной плотности, площадь под графиком которой с достаточной точностью равна 1.

Распределение показано на рис. 7.10. Видно, что оно приближенно нормальное с модой  и стандартным отклонением около 0,05. 95%-ный байесовский интервал покрывает тот же диапазон , что и доверительный интервал.

Рисунок  7.10 Апостериорная плотность  для ряда .