8.1.2. Введение избыточных параметров

Один из методов, который может быть использован для диагностической проверки, — это введение в модель избыточных параметров. Идентифицировав модель и считая ее правильной, мы затем подгоняем более сложную модель. Это ставит под угрозу идентифицированную модель, потому что более сложная модель содержит дополнительные параметры, с помощью которых можно ликвидировать возможные отклонения. Нужно тщательно продумать вопрос о том, как следует усложнить модель. В частности, в согласии с дискуссией об избыточности модели в разд. 7.3.5, было бы глупо добавлять множители в обе части уравнения, описывающего модель АРСС, одновременно. Если анализ не выявил, какие добавления нужны, это, конечно, не означает, что наша модель верна. Модель может лишь выдержать испытание. Все, что мы можем делать, — это «испытывать все, крепко держась за хорошее» (послание св. Павла к фессалонянам).

Пример введения избыточности. В качестве примера рассмотрим опять данные о стоимости акций IBM. Для этого анализа использовались данные, приведенные как ряд  в сборнике временных рядов в конце книги. Этот ряд состоит из биржевых цен акций IBM за период ) с 29 июня 1959 г. по 30 июня 1960 г. Модель

с  была идентифицирована и подогнана к 255 имевшимся наблюдениям.

Модель  можно также представить в проинтегрированной форме :

.

Более общая модель, рассмотренная в процедуре введения избыточных параметров, — это процесс

или в проинтегрированной форме

.

Непосредственной причиной такого усложнения модели было желание проверить предположение, высказанное Брауном [2], что ряд следует прогнозировать при помощи подстраивающейся квадратичной прогнозирующей функции. В гл. 5 было показано, что для процесса  оптимальная прогнозирующая функция — это подстраивающийся полином степени . Тогда для указанной выше избыточной модели  оптимальная прогнозирующая функция с упреждением  — это квадратный трехчлен от :

,

где коэффициенты  подстраиваются по мере поступления новых данных.

Однако модель, идентифицированная нами как процесс , имеет прогнозирующую функцию

.                                                                   (8.1.1)

Это «полином от » нулевой степени. Следовательно, модель указывает, что прогноз  не зависит от , т. е. в любое время  прогноз на шаг вперед, на два шага вперед и т. д. одинаков. Другими словами, ряд содержит информацию только о своем будущем уровне, но не о наклоне или кривизне. На первый взгляд это странно, поскольку, оглядываясь в прошлое ряда, можно увидеть вполне явные линейный и криволинейные тренды. Следовательно, целесообразно проверить, действительно ли существуют ненулевые значения  и , которые могли бы вызвать тренды. Сетка с величинами суммы квадратов  для значений  показана на рис. 8.1; можно видеть, что минимум близок к . Также ясно, что значения  и  приводят к большим суммам квадратов и, следовательно, отклонения от идентифицированной модели  в этом направлении противопоказаны. В частности, это свидетельствует о том, что квадратичная прогнозирующая функция будет ухудшать, а не улучшать прогноз по сравнению с (8.1 1), что и было подтверждено в разд. П5.3.3.

Рисунок. 8.1. Сетка и изолинии суммы квадратов для ряда  и расширенной модели порядка