8.2. Диагностические проверки, применяемые к остаточным ошибкам
Методы введения избыточных параметров путем обобщения модели в некотором направлении хороши в том случае, если мы знаем, какого рода отклонений следует бояться Методики, менее зависящие от таких представлений, основываются на анализе остаточных ошибок. Хотя некоторые представления о том, чего искать, полезны и в этом случае, эти методы создают больше возможностей находить способ изменения моделей непосредственно из данных.
8.2.1. Проверка при помощи автокорреляций
Пусть подгонялась модель

с
, и были получены оценки МП параметров
. Тогда величины
(8.2.1)
мы будем называть остаточными ошибками. Можно доказать, что для адекватной модели
.
По мере увеличения длины ряда
становится все ближе к белому шуму
. Следовательно, можно ожидать, что изучение
может выявить и указать природу неадекватности модели. В частности, некоторые характерные черты выборочной автокорреляционной функции
могут указать на необходимость определенных изменений модели. Этот вопрос рассмотрен подробнее в разд. 8 3.
Предположим, что модель верна, и мы знали точные значения параметров
и
. Тогда, пользуясь (2.1.13) и результатом Андерсона [52], получаем, что выборочные автокорреляции
ряда
должны быть некоррелированы и распределены приближенно нормально относительно нулевого среднего значения с дисперсией
и, следовательно, со стандартной ошибкой
. Эти факты можно использовать для оценки статистической значимости кажущихся отклонений этих автокорреляций от нуля.
На практике мы не знаем истинных значений параметров. Мы располагаем только выборочными оценками
, по которым, пользуясь (8.2.1), мы можем вычислить не
, а
. Автокорреляции
ряда
могут дать ценную информацию о недостаточно хорошей подгонке и возможной природе неадекватности модели. Однако, как указывал Дарбин [75], может оказаться рискованным придавать статистическую значимость кажущимся отклонениям этих автокорреляций
от их теоретических нулевых значений исходя из стандартной ошибки
, соответствующей
. Дарбин показал, например, что для процесса
с параметром
дисперсия
равна
, что может оказаться существенно меньше, чем
. Дисперсии и ковариации всех автокорреляций
для больших выборок любого процесса
были выведены Боксом и Пирсом [77]. Эти авторы показали, что хотя во всех случаях для малых задержек возможно уменьшение дисперсии и сильная корреляция
, при больших задержках эти эффекты быстро исчезают. Поэтому использование
в качестве стандартной ошибки для
будет приводить к недооценке статистической значимости кажущегося отклонения от нуля для автокорреляций при малых задержках, но обычно вполне оправдано для средних и больших задержек.

Рисунок. 8.2. Пределы стандартных ошибок для остаточных автокорреляций
.
В качестве примера на рис. 8.2 показаны пределы в одну и две стандартные ошибки
для большой выборки в случае двух процессов авторегрессии первого порядка и двух процессов авторегрессии второго порядка. Эти графики пригодны также для оценки стандартных ошибок процессов скользящего среднего с теми же параметрами (как указано на рисунке).
Можно сделать вывод, что при не слишком больших задержках можно рассматривать
как «верхнюю границу стандартных ошибок
, а не как сами стандартные ошибки. Если мы пользуемся
как стандартной ошибкой
при малых задержках, то можем серьезно недооценить значимость кажущихся расхождений.